最大的分布是其最概然分布。对费米系统的微观状态数目求对数，然后利用Stirling公式，得到：ln????[ln?!?ln?llll!?ln(?l??l)!]?[?l
ln?l??lln?l?(?l??l)ln(?l??l)]令?al 有δal 的变化，则当?δln(Ω)的变化等于零时， lnΩ有极值，即：
?ln???[ln(?ll??l)?ln?l]???l?0
同样地，δal 的变化不是任意的，它必须满足下面两个限制方程：
?N????ll?0; ?E?????lll?0
利用拉氏乘子 α?，β?乘以两个限制条件，并从?δln(Ω)中减去，有：
?[ln(?ll??l)?ln?l?????l]???l?0
?ln(?l??l)?ln?l?????l?0得到费米分布如下：?l??le????l?1， 拉氏乘子 α?，β?由以下两式决定：
?ll?le????l?1?N???ll ?Ee????l?1费米分布和玻色分布统一如下。其中“＋”表示费米分布；“－”表示玻色分布：?l??le????l?1，
fs?1e????s??1?le????l，
l?1?N??l?ll ?Ee????l?1两种分布中的拉氏乘子?α和?β可以通过右边的两个限制条件得出。
？它们的物理意义是什么？
在以上推导中，我们利用了一些假设，如：ωl >>1，al >>1等条件，这些条件实际上并不一定满足，这是一个重要缺陷。后面我们利用系综原理给出上述分布的严格推导。
第七章 玻尔兹曼分布
我们已经知道，如何描述粒子的运动状态（能级、简并度）、可能状态数目的计算方法（态密度）、处于平衡态时系统的分布公式等。
后面三课的任务：近独立粒子系统的宏观性质的计算： 一、玻尔兹曼统计
二、玻色、费米统计
我们先来学习第一课玻尔兹曼统计 玻尔兹曼统计
二． 热力学量的统计表达式
定域系统或者满足经典极限条件的玻色、费米系统都服从玻尔兹曼分布。本章根据玻尔兹曼分布讨论这两类系统的热力学性质（内能、熵、自由能等）。首先推导热力学量的统计表达式。
根据玻尔兹曼分布，系统的内能和粒子数可以由右边的两式计算。右式中，α和β是两个常数。U＝?????＝?????e??－?－???，N＝???e－?－???????l注意：U和??N均由分布直接计算???? ?? ? ? ?
N????el?????l?e?????el???l?e????Z; ?Z?????el???，N?e-??Z???ln??Z??，Z?Z(T,V)上面给出了?α、?N?N、Z之间的关系。可以利用这种关系消去内能计算式中的α。U??????e????????e????????e??????e?????N??Z?????????????e? ????NlnZ??????Z???????????
Z????e?????，U??N???lnZ
对于服从玻尔兹曼分布的系统，知道其配分函数Z，就可以求得其内能！配分函数Z，根据定义，与系统的体积V、温度T等有关。
在热力学中讲过，系统可以通过功和热量的方式同外界交换能量。在无穷小的过程中，系统在过程前后内能的变化等于外界对系统做的功和系统从外界吸收的热量的和：dU＝dW＋dQ 对于准静态过程，外界作的功可以表示为dW=Ydy的形式。其中，Y是广义力，dy是外参量的变化。例如：当系统在准静态过程中体积有dV的变化时，外界对系统做的功为-PdV。
准静态过程：
是一个非常缓慢的过程。系统在过程中经历的每一个状态都可以看作平衡态。准静态过程的一个特点是，如果没有摩擦阻力，外界对系统的作用力可以用描写系统平衡状态的参量表达出来。
粒子的能量是外参量的函数（例如：自由粒子的能量是体积V的函数）。由于外参量的变化，外界施于处于能级?l上的一个粒子的广义力等于? ??l /??y。因此，外界对系统的广义力Y为：Y???????y????l??l?y?le?????l?e???1?????l????e?l?????y?l
?N?1??N????Z??lnZ?Z???y??y??这样，如果知道了系统的配分函数Z，就可以计算系统的内能和外界对系统的广义力。
U??NY?????lnZN?,N?e???Z lnZ??y系统的压强（广义力的负值）可以表述为：P?＝P（T，V）
N?lnZ,这实际上给出了系统的物态方程：P???V上面求得的宏观物理量的统计表达式都是将宏观量对应的微观量进行统计平均得到的。例如：内能对应着粒子的微观能级 ；广义力对应着能级对广义坐标的偏微分等。根据分布可以直接求得系统的内能，外界的广义功等。
U??NY?????lnZN? lnZ??y热量是热现象中特有的宏观量，与内能和广义力不同，没有与热量相对应的微观量；熵本身是
一个宏观统计的结果，也没有与之对应的微观量。因此，不可能根据分布直接计算得出。一个可行的办法是从热力学第一、二定律出发，将内能和广义功的统计表达式进行比较得到。在无穷小的准静态过程中，当外参量有dy的变化时，外界对系统做的功为Ydy，传给系统的热量为dQ。两者之和等于系统内能的变化：寻找热量与配分函数之间的关系。
??dU?d???l?l???l???ll?d?l???ll?d?ldW?Y?dy?dy??l??l?y?l???ll?d?l,
dQ?dU?dW???ll?d?l
外界所作的功体现为：粒子分布不变，能级的改变；
所吸收的热量体现为：粒子能级不变，分布的改变。
根据上述关系，我们可以推导出热量的微分表达式：
??lnZdQ?dU?Ydy?d??N??????N?lnZ??????????y???dy?
由于lnZ是（?β，y）的函数，所以有：d(lnZ)??lnZ??d???lnZ?y??lnZdy,????y???lnZ??????dy?dlnZ???d? ????????lnZdQ?dU?Ydy?d??N??????lnZ??N?d???????lnZ代入上式中??N?d???????N??lnZ??????????y??N?lnZ????????y???????dy?????dy??NN??lnZ?????dlnZ??????????????lnZ???????????????d??
??lnZN???d(lnZ)?d???????N??lnZ?d?lnZ????????????????d????????lnZ???dQ?N?d?lnZ?????????? ?dQ的微分表达式
根据热力学第二定律，微热量dQ存在一个积分因子1/T： 1dQ?dSdS是系统的熵的完整微分 T当微分式有一个积分因子时，它有无穷多个积分因子。任意两个积分因子之比是S的函数（dS是用积分因子乘微分式dQ后得到的完整微分）。?dQ?Nd??lnZ?????lnZ?1? 令： ??????kT?只是T的函数，所以k不是S的函数，是一个常数。与系统的性质无关，是一个普适常数 S'是积分常数熵常数。现在讨论熵的统计意义：
熵是混乱度的量度。如果某个宏观状态的微光状态数目愈多，它的混乱度就愈大，熵也愈大。在理想的绝对零度下，系统处于基态，状态数很小，所以熵近似为0或者等于0。
孤立系统的熵增原理：系统总是朝着微观状态数目增加的方向过渡，那样的状态有更大的几率出现。
熵是一种统计性质，对少数几个粒子组成的系统谈不到熵。因此，热力学第二定律适用于粒子数非常多的系统。这样，对于定域系统，其熵的计算公式为：S?Nk???lnZ????????lnZ??? ?§7.2理想气体的物态方程
一般气体满足经典极限条件，遵从玻尔兹曼分布。考虑单分子理想气体，如Ar, Ke, Xe 等。 理想气体的配分函数
把单原子理想气体看作是在容器中自由运动的粒子，有：??可能值如下：pi?2??12m222(px?py?pz)px,py,pz的
ni(i?x,y,z)考虑：在宏观大小的容器中运动的理想气体，其动量值和能量L值可以看作是连续的。
在dxdydzdPxdPydPz范围内，分子的微观状态数为：
dxdydzdph3xdpydpz,Z?1h3?...?e－β2m?P222x＋Py＋Pz?dxdydzdPxdPydPZ
上式可以分为六个积分的乘积：?e?xdx????2?
Z?1he3???βpy2dxdydzdpy?e?－?β2me－β2mpx2dpx, Z?pz2Vh3/2 ??2?mkT3??－2m－???－－?dpz利用球极坐标，分子的自旋为零，则分子的动量在p?p＋dp内的可能的微观状态数为：g(p)dp?4?Vh3pdp, ?e02???x2?x?dx?2?4?3/2
Z??,V???4?VhVh33????0e????g?p??dp2?2m?e0?p2?p?dp
Vh3??4??????4???2m??Vh33/2???2?mkT?3/2Z(T,V)??2?mkT?N1?Z3/2?Z(?,V)??2?m?h3/23?V3???3/2?2πm?Z?V??h2β????2,
p??NN???V?VlnZ??Z?VNkT
V?
理想气体的物态方程PV?NkBT
利用球极坐标如何求得该物态方程？D(?)d??2?Vh3(2m)32?3212d?
?2πm?对于单原子理想气体，其他的物理量的导出：Z?V??h2β????,
→lnz??32ln??lnV??2?m?ln?2? 2?h?3?2?mlnz??ln??lnV?ln?222?h333??U??PV?NkTC??Nk→,???V2??T?V?