太原理工大学现代科技学院 课程设计
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一、设计目的
1、加深对DFT算法原理和基本性质的理解； 2、熟悉FFT的算法原理和FFT子程序的算法流程和应用； 3、学习用FFT对连续信号和时域信号进行频谱分析的方法；
4、学习DSP中FFT的设计和编程思想； 5、学习使用CCS的波形观察器观察波形和频谱情况；
二、设计内容
用DSP汇编语言及C语言进行编程，实现FFT运算、对输入信号进频谱分析。
三、设计原理
快速傅里叶变换FFT 快速傅里叶变换（FFT）是一种高效实现离散傅里叶变换（DFT）的快速算法，是数字信号处理中最为重要的工具之一，
它在声学，语音，电信和信号处理等领域有着广泛的应用。 1离散傅里叶变换DFT 对于长度为N的有限长序列x(n)，它的离散傅里叶变换
（DFT）为 X(k)= ?x(n)*WN （1）
n?0?-nk
式中，WN=e
-j*2π/N
，称为旋转因子或蝶形因子。
从DFT的定义可以看出，在x(n)为复数序列的情况下，
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（N-1）次复数加法。因此，对所有N个k值，共需要N次复数乘法和N(N-1)次复数加法。对于一些相当大有N值（如1024点）来说，直接计算它的DFT所需要的计算量是很大的，因此DFT运
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算的应用受到了很大的限制。 2快速傅里叶变换FFT 旋转因子WN 有如下的特性。 对称性： WN 周期性：WN
k+N/2
=-WN
k(N-n)
k
n(N-k)
=WN=WN
-nk
利用这些特性，既可以使DFT中有些项合并，减少了乘法积项，又可以将长序列的DFT分解成几个短序列的DFT。FFT就是
利用了旋转因子的对称性和周期性来减少运算量的。 FFT的算法是将长序列的DFT分解成短序列的DFT。例如：N为偶数时，先将N点的DFT分解为两个N/2点的DFT，使复数乘法减少一半：再将每个N/2点的DFT分解成N/4点的DFT，使复数乘又减少一半，继续进行分解可以大大减少计算量。最小变换的点数称为基数，对于基数为2的FFT算法，它的最小变换是2
点DFT。 一般而言，FFT算法分为按时间抽取的FFT（DIT ＦＦＴ）和按频率抽取的ＦＦＴ（DIF FFT）两大类。ＤIF FFT算法是在时域内将每一级输入序列依次按奇／偶分成２个短序列进行计算。而DIF FFT算法是在频域内将每一级输入序列依次奇／偶分成２个短序列进行计算。两者的区别是旋转因子出现的位置不
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同，得算法是一样的。在DIF FFT算法中，旋转因子 出现
在输入端，而在DIF FFT算法中它出现在输入端。 假定序列x(n)的点数N是2的幂，按照DIF FFT算法可将其分为偶序列和奇序列。 偶序列：x(2r)=x1(r) 奇序列：x(2r+1)=x2(r) 其中：r=0,1,2,…,N/2-1 则x(n)的DFT表示为
nknknkX?k???x?n?WN??x?n?WN??x?n?WNn?0n?0n?0N?1N?1N?1n为偶数
N/2?1r?0n为奇数N
?
N/2?1??x?2r?W2rkNN/2?1??x?2r?1?Wr?0?2r?1?k??x?r??W?12Nr?0rk?WkNN/2?1?r?0x2?r??W2N?rkN/2?1r?0?x?r?W1rkN/2?WkNN/2?1?r?0x2?r?WrkN/2k?X1?k??WNX2?k?r,k?0,1,...N/2?1
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式中，x1(k)和x2(k)分别为x1(r)和x2(r)的N/2的DFT。 由于对称性， WN
k+N/2
=-WN。因此，N点DFT可分为两部分：
k
k
前半部分：x(k)=x1(k)+WNx2(k) （4）
k
后半部分： x(N/2+k)=x1(k)-WNx2(k) k=0,1,…,N/2-（5） 从式（4）和式（5）可以看出，只要求出0~N/2-1区间x1(k)
和x2(k)的值，就可求出0~N-1区间x(k)的N点值。 以同样的方式进行抽取，可以求得N/4点的DFT，重复抽取过程，就可以使N点的DFT用上组2点的 DFT来计算，这样就
可以大减少运算量。 基2 DIF FFT的蝶形运算如图(a)所示。设蝶形输入为X1(K)和X2((K)，输出为x(k)和x(N/2+K)，则有 x(k)=x1(k)+WNx2(k)
（6） x(N/2+k)=x1(k)-WNx2(k) （7） 在基数为2的FFT中，设N=2，共有M级运算，每级有N/2个2点FFT蝶形运算，因此，N点FFT总共有MN/2个蝶形运算。
BAA＋ BCM
k
k
CA－ BC
图(a) 基2 DIF FFT的蝶形运算
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例如：基数为2的FFT，当N=8时，共需要3级，12个基2 DIT FFT的蝶形运算。其信号流程如图(b)所示。
x(0) x(0) WN
0
x(4) x(1) -1 WN
x(2) x(2) -1 WN WN
x(6) x(3) -1
0
20
-1
0
WN
x(1) x(4) -1 WN WN
x(5) x(5) -1 -1 WN WN
x(3) x(6) -1 -1 WN WN WN
x(7) x(7) -1 -1 -1 图(b) 8点基2 DIF FFT蝶形运算
0
2
3
0
2
0
1
从图(b)可以看出，输入是经过比特反转的倒位序列，称为位码倒置，其排列顺序为x(0),x(4),x(2),x(6),x(1),x(5),x(3),x(7)，输出是按自然顺序排列，其顺序x(0),x(1),x(2),x(3),x(4),x(5),x(6),x(7).
四、总体设计方案 对FFT算法进行深入了解，以便确定设计的方案，可以参考其他书籍关于FFT的算法及应用说明，其次确定参数本实验我们完成一个64点FFT程序，FFT模拟输入数据文件可以由MATLAB
编程实现。
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