几个重要的特殊数列 基础知识
1．斐波那契数列
莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：
假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？ 这就是非常著名的斐波那契数列问题。其实这个问题的解决并不是很困难，可以用
表示第个月初时免房里的免子的对数，则有
，第
个月初就已经
个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第在免房内的免子，共有有
对，于是有
对；另一部分是第
。
个月初时新出生的小免子，共
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。 特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（
），其特征方程为
，其根为特征根。 ，则其通项公式为
（1）若特征方程有两个不相等的实根（
），其中A、B由初始值确定；
（2）若特征方程有两个相等的实根
（
，则其通项公式为
），其中A、B由初始值确定。（这个问题的证明
我们将在后面的讲解中给出） 因此对于斐波那契数列特征根为：
，所以可设其通项公式为
，对应的特征方程为
，其
，利用初始条件得
，解得
所以。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。斐波那契数列有许多生动有趣的性质，如：
它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明） （1）斐波那契数列的前项和 （2） （3） （4） （5） 2．分群数列 将给定的一个数列{
}：
按照一定的规则依顺序用括
作为第
（（
； ）； （
）；
）； ；
号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。如在上述数列中，我们将一组，将
作为第二组，将
作为第三组，??依次类推，第组有
），（
），（
），??
个元素，即可得到以组为单位的序列：（我们通常称此数列为分群数列。 一般地，数列{（
），（
}的分群数列用如下的形式表示：（），
），??，其中第1个括号称为第1群，
第2个括号称为第2群，第3个括号称为第3群，??，第个括号称为第群，而数列{
}称为这个分群数列的原数列。如果某一个元素在分群数列的第
个括号的左端起是第个，则称这个元素为第
个
群中，且从第素。
群中的第个元
值得注意的是一个数列可以得到不同的分群数列。如对数列{可以得到下面的分群数列： 第（
个群中有
）?；
个元素的分群数列为：（
），（
个元素的分群数列为：（
），（
}分群，还
），
第个群中有（
），
）?等等。
3．周期数列 对于数列{有
}，如果存在一个常数
}是从第
，使得对任意的正整数
恒
成立，则称数列{
，则称数列{
项起的周期为T的周期数列。若，则称数列{
}为混周期数列，
}为纯周期数列，若
T的最小值称为最小正周期，简称周期。
周期数列主要有以下性质：
（1）周期数列是无穷数列，其值域是有限集；
（2）周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）； （3）如果T是数列{的周期；
（4）如果T是数列{有T|M，即M=
（
}的最小正周期，M是数列{
}的任一周期，则必
}的周期，则对于任意的
，
也是数列{
}
）； }满足
（
为常数），
，则
分别为{
}，
（5）已知数列{的前
项的和与积，若
；
（6）设数列{以关于
后的余数，即
}是整数数列，是某个取定大于1的自然数，若
，且。若模数列
，则称数列
是是{
除}}
的模数列，记作
的周期数列。
是周期的，则称{
是关于模
（7）任一阶齐次线性递归数列都是周期数列。
4．阶差数列 对于一个给定的数列{得到一个新数列
，则称数列
}，把它的连续两项
称为是原数列{的一阶差数列，阶差数列，其中
与
的差
－
记为
，
，把数列是数列
}的
}的一阶差数列；如果是{。
阶等差数列。}的二阶差数列；
依次类推，可以得到数列{ 如果某一数列的
阶差数列是一非零常数列，则称该数列为
其实一阶等差数列就是我们通常说的等差数列；高阶等差数列是二阶或二阶以上
等差数列的统称。
高阶等差数列具有以下性质： （1）如果数列{列；
（2）数列{次多项式； （3）如果数列{
}是
阶等差数列，则其前项之和
是关于
的
}是
阶等差数列的充要条件是：数列{
}的通项是关于的
}是
阶等差数列，则它的一阶等差数列是
阶差数
次多项式。
高阶等差数列中最常见的问题是求通项公式以及前项和，更深层次的问题是差分方程的求解。解决问题的基本方法有：
(1)逐差法：其出发点是；
与前n项和Sn是确
(2)待定系数法：在已知阶数的等差数列中，其通项
定次数的多项式(关于n的)，先设出多项式的系数，再代入已知条件解方程组即得
(3)裂项相消法：其出发点是an能写成
=f(n+1)－f(n)
(4)化归法：把高阶等差数列的问题转化为易求的同阶等差数列或低阶等差数列的问题，达到简化的目的 设数列{
}不是等比数列：若它的一阶等差数列是公比不为1的等比数列，
则称它是一阶等比数列；若它的一阶差数列不是等比数列，而二阶差数列是公比不为1的等比数列，则称这为二阶等比数列。一般地说，如果某一个数列它的阶等差数列不是等比数列，而
阶差数列是公比不为1的等比数列，则称这个数
列为阶等比数列，其中。
0阶等比数列就是我们通常所说的等比数列，一阶及二阶以上的等比数列，统称为高阶等比数列。 典例分析
例1．数列的通项公式为
，求所有的正整数，使得
，
能被8整除．
．记
（2005年上海竞赛试题）
解：记
注意到
，可得
因此，Sn+2除以8的余数，完全由Sn+1、Sn除以8的余数确定
，故由(*)式可以算出
各项除以8的余
数依次是1,3，0,5，7,0，1,3，??，它是一个以6为周期的数列，从而 故当且仅当 例２．设
是下述自然数N的个数，N的各位数字之和为，且每位数字
是完全平方数，这里
只能取1、3或4，求证：
分析：这道题目的证法很多，下面我们给出借助于斐波那契数列证明的两