解：由性质(2)，an是n的三次多项式，可设an=An3+Bn2+Cn+D 由a1=30、a2=72、a3=140、a4=240得
所以an=n3+7n2+14n+8
解得：
A为序列
例10．对于任一实数序列A={a1,a2,a3,?}，定义
{a2-a1,a3-a2,?}，它的第n项为an+1-an，假设序列(A)的所有项均为1，且a19=a92=0,求a1
解：设序列A的首项为d,则序列A为{d,d+1,d+2,?},它的第n项是
d+(n-1)，因此序列A的第n项
显然an是关于n的二次多项式，首项等比数列为，
由于a19=a92=0，必有，所以a1=819.
方法二：由题意知，数列A是二阶等差数列，因面它的通项是关于的二次三项式，故可设
的两个根，所以
从而
，又已知
，
，由a19=a92=0,知19，92是方程
解得，所以，将代入求得a1=819.
针对练习：（主要是阶差数列的练习）
1．数列{an}的二阶差数列的各项均为16，且a63=a89=10，求a51
解：法一：显然{an}的二阶差数列{bn}是公差为16的等差数列，设其首项为a,则bn=a+(n-1)×16,于是an= a1+
=a1+(n-1)a+8(n-1)(n-2) 这是一个关于n的二次多项式，其中n2的系数为8，由于a63=a89=10,所以 an=8(n-63)(n-89)+10，从而a51=8(51-63)(51-89)+10=3658
解：法二：由题意，数列{an}是二阶等差数列，故其通项是n的二次多项式，又a63=a89=10，故可设an=A(n-63)(n-89)+10
由于{an}是二阶差数列的各项均为16，所以(a3-a2)-(a2-a1)=16 即a3-2a2+a1=16，所以
A(3-63)(3-89)+10-2[A(2-63)(2-89)+10]+A(1-63)×(1-89)+10=16 解得：A=8
an=8(n-63)(n-89)+10，从而a51=8(51-63)(51-89)+10=3658 2．求和：Sn=1×3×22+2×4×32+?+n(n+2)(n+1)2 解：Sn是是数列{n(n+2)(n+1)2}的前n项和， 因为an=n(n+2)(n+1)2是关于n的四次多项式，所以{an}是四阶等差数列，于是Sn是关于n的五次多项式
k(k+2)(k+1)2=k(k+1)(k+2)(k+3)-2k(k+1)(k+2)，故求Sn可转化为求 Kn=
和Tn=
k(k+1)(k+2)(k+3)=[ k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)-(k-1) k(k+1)(k+2)(k+3)]，所以 Kn=
=
Tn==
从而Sn=Kn-2Tn=
3．已知整数列{an}适合条件：
(1)an+2=3an+1-3an+an-1,n=2,3,4,? (2)2a2=a1+a3-2 (3)a5-a4=9,a1=1
求数列{an}的前n项和Sn
解：设bn=an+1-an,Cn=bn+1-bn Cn=bn+1-bn= (an+2-an+1)-( an+1-an)=an+2-2an+1+an=(3an+1-3an+an-1) -2an+1+an=an+1-2an+an-1 =Cn-1 (n=2,3,4,?) 所以{ Cn}是常数列
由条件(2)得C1=2,则{an}是二阶等差数列 因此
an=a1+
由条件(3)知b4=9，从而b1=3，于是an=n2
4．求证：二阶等差数列的通项公式为
证明：设{an}的一阶差数列为{bn}，二阶差数列为{cn}，由于{an}是二阶等差数列，故{cn}为常数列。 又c1=b2-b1=a3-2a2+a1
所以
5．求数列1,3+5+7,9+11+13+15+17,?的通项
解：问题等价于：将正奇数1,3,5,?按照“第n个组含有2n-1个数”的规则分组：
(1)、(3,5,7)、(9,11,13,15,17),? 然后求第n组中各数之和an 依分组规则，第n组中的数恰好构成以2为公差的项数为2n-1的等差数列，因而确定了第n组中正中央这一项，然后乘以(2n-1)即得an
将每一组的正中央一项依次写出得数列：1,5,13,25,?这个数列恰为一个二阶等差数列，不难求其通项为2n2-2n+1，故第n组正中央的那一项为2n2-2n+1，从而
an=(2n-2n+1)(2n-1)
6.数列{an}的二阶差数列是等比数列，且a1=5,a2=6,a3=9,a4=16,求{an}的通项公式
解：易算出{an}的二阶差数列{cn}是以2为首项，2为公比的等比数列,则cn=2n,
{an}的一阶差数列设为{bn}，则b1=1且
从而
7．设有边长为1米的正方形纸一张，若将这张纸剪成一边长为别为1厘米、3厘米、?、(2n-1)厘米的正方形，愉好是n个而不剩余纸，这可能吗？ 解：原问题即是是否存在正整数n，使得12+32+?+(2n-1)2=1002
由于12+32+?+(2n-1)2=[12+22+?+(2n)2]-[22+42+?+(2n)2]=
随着n的增大而增大，当n=19时
当n=20时=10660>10000
故不存在?
=9129<10000，