代入原式有：
?3g(M?m)??3FF?ml??(4M?m)l(4M?m)l????x??M?m ?FM?m?3mg?3mF4M?m?(4M?m)(M?m) ??3mg?44M?m?F4M?m
系统的传递函数为：
由（2.9）式可知X(s)?F(s)?ml?(s)s2(M?m)s2，代入（2.10）式中有：2)s2?mlF(s)?ml?(s)s2(I?ml)?(sM?m?mgl?(s)?0
ml?(ml)2s2mF(s)???mgl??M?m?(I?ml2)s2M????(s) ??(s)F(s)?ml(M?m)mgl?m2l2s2?(43ml2)(M?m)s2?ml(?1m2l243?3Mml2)s2?(M?m)mgl?3 ?(4M?m)ls2?(M?m)g(4M?m)l
代入假定的参数有：
?(s)F(s)??0.7317s2?2.6293
7
(2.15)
(2.16)
(2.17)
模型的状态方程为：
??x?x?3mg4F??4M?m4M?m????????x????
3g(M?m)?3F?(4M?m)l(4M?m)l??010?0?30mg0??0100??A??0???00?0.71710??004M?m1????0001???03g(M0?m)??0(4M?m)l0??????007.88780????04?0?B?????4M?0?m?????0.9756?? ??3??0???(4M?m)l??????0.7317??C???1000??0010?? D?02.2.2 考虑摩擦时的传递函数及状态方程
考虑小车与地面之间的摩擦时有如下的方程组：
Mx???N?bx??FN?mx???ml???sin??ml??2sin?P?mg?md2
dt2(lcos?)plsin??NIcos??I???推导过程同上，可得：
(M?m)?x??ml???cos??ml??2sin??bx??F(I?ml2)????m?x?lcos??mglsin??0 经过局部线性化，近似处理之后有：
(M?m)?x??bx??ml?x??F(I?ml2)????ml?x??mgl??0
8
(2.18) (2.19)
(2.20) (2.21)
由上式可得系统的传递函数为：
(M?m)X(s)s2?bX(s)?ml?(s)s2?F(s) (I?ml2)?(s)s2?mlX(s)s2?mgl?(s)?0
(2.22) (2.23)
F(s)?ml?(s)s2由（2.22）可知X(s)?，代入（2.23）式中有： 2(M?m)s?bsF(s)?ml?(s)s2(I?ml)?(s)s?mls?mgl?(s)?0
(M?m)s?b22(2.24)
??ml(ml)2s2F(s)??mgl??(I?ml2)s2??(s)
(M?m)s?b(M?m)s?b????(s)F(s)?mls?(M?m)s?b?mgl?m2l2s3?4ml2s2?(M?m)s?b?3s
??(M?m)s?b?g?mls3?4ls2?(M?m)s?b?3s3
?444g(M?m)s?gb?mls?Mls3?mls3?bls2333s414(M?m)gs?gb?Mls2?mls3?bls2333
?
?3s
3gb?3(M?m)gs?(4M?m)ls3?4bls2(2.25)
代入假定的参数有：
?(s)F(s)?3s
2.943?32.373s?4.1s3?0.4s2?0.7317s
s3?0.0976s2?7.8959s?0.7178?
9
状态方程为：
???(I?ml2)?mgl?4?????x?g??l?
ml34?????F ??ml??(M?m)(g??l?)?bx34???ml????bx??F (M?m)g??(M?m)l?344????bx??(M?m)g??F (?Ml?ml?ml)?33(2.26)
???????(M?m)g??F??bx3bx3(M?m)g?3F???
44(4M?m)l(4M?m)l(4M?m)l?Ml?ml33(2.28)
将上式代回到（2.26）式中有：
?43bx43(M?m)g?3F4l???g??lx?l?
3(4M?m)l3(4M?m)l(4M?m)l3???4bx4(M?m)g?4F? ??g????4M?m?4M?m?4M?m1?04b?0??4M?m?A??00?3b?0(4M?m)??04(M?m)gg?4M?m03(M?m)g(4M?m)l0?10??00??0?0.0945?0.7178?1???000?0???00.073177.8958??0?0?? 1??0?0??0?4?????4M?m??1? B?????0?0???3??????0.7317????(4M?m)l???1000?C????0010? D?0
10
第三章 单级倒立摆PID控制器设计与仿真
3.1 理论分析
常规PID控制是最早发展起来的一种控制方法，由于其算法简单、鲁棒性好、可
靠性高，因而至今仍广泛应用于工业过程控制中。该方法的主要思想是:根据给定值与系统的实际输出值构成控制偏差。然后将偏差的比例(P)、积分(I)和微分(D)三项通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制，故称为PID控制。
为了使研究更具一般性，分析倒立摆时以有摩擦的系统为主。我们已经得到了倒立摆系统的开环传递函数，输入为小车的推力。开环传递函数为：
?(s)F(s)??0.7317s （3.1）
s3?0.0976s2?7.8959s?0.7178给系统施加脉冲扰动，输出量为摆杆的角度时，系统框图如图3.1所示:
图3.1 系统控制结构框图
r(s) = 0 + _ e(s) 控制器KD（s） + f(s) = F + u(s) 对象G（s） y(s) 考虑到输入r(s)=0,结构图可以很容易的变换成图3.2所示的结构：
图3.2 系统控制结构简图 该系统的输出为：
y(s)? f(s) = F + _ u(s) 对象G（s） y(s) 控制器KD（s） G(s)F(s)
1?KD(s)G(s) 11