据范围解决最值问题。 【举例说明】
1、 等轴双曲线x2?y2?1的左焦点为F，若点P为左下半支上
任意一点（不同于左顶点），则直线PF的斜率的取值范围是
【答案】(??,0)?(1,??)
x2y22、 求与双曲线??1有共同的渐近线，且经过点M(23,?3)169的双曲线的方程。
【解析】考查双曲线的渐近线，掌握共渐近线问题的解决思路。
4y2x2??1 【答案】943、 在?ABC中，已知B(?a,0),C(a,0),(a?0)，顶点A为动点，且满足sinC?sinB?sinA，求动点A的轨迹方程。
4x24y2【答案】2?2?1
a3a124、 斜率为2的直线l被双曲线2x2?3y2?6所截得的弦长为4，求直线l的方程。
【答案】y?2x?210 3x2y2 5、设双曲线2?2?1(a?0,b?0)的半焦距为c．已知原点到直
ab线l：bx?ay?ab的距离等于c?1，则c的最小值为_______ 【答案】 4
? 6、若经过点P(0,2)且以d??1,a?为方向向量的直线l与双曲线
3x2?y2?1相交于不同两点A、B，则实数a的取值范围
14
是 .
【答案】??15,?3????3,3???3,15?
x2y27、已知双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的一个焦点是F2(2,0)，
ab且b?3a。
（1）求双曲线C的方程；
（2）设经过焦点F2的直线l的一个法向量为(m,1)，当直线l与双曲线C的右支相交于A,B不同的两点时，求实数m的取值范围；并证明AB中点M在曲线3(x?1)2?y2?3上。
（3）设（2）中直线l与双曲线C的右支相交于A,B两点，问是否存在实数m，使得?AOB为锐角？若存在，请求出m的范围；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）c?2 c2?a2?b2 ?4?a2?3a2 ?a2?1,b2?3
y2x??1。 ?双曲线为32?y??mx?2m?（2）l: m(x?2)?y?0 由?2y2得
x??1?3? (3?m2)x2?4m2x?4m2?3?0 由??0
得4m4?(3?m2)(4m2?3)?0
即
12m2?9?3m2?0
即m2?1?0恒成立
4m2?02?x1?x2?0 m2?3 ?m2?3 ?m?(??,?3)?(3,??) 又?4m?3?x1?x2?0?0m2?3设A(x1,y1),B(x2,y2)，则
x1?x2y1?y22m22m3?6m?2??2?2m?2 22m?3m?3m?3[来源:Zxxk2m26m?AB中点M(2,?2)
m?3m?3
2m236m2(m2?3)236m2m4?6m2?9?12m22?3(2?1)?2?3?2?2?3??322222m?3(m?3)(m?3)(m?3)(m?3)?M在曲线3(x?1)2?y2?3上。 x#
（3）A(x1,y1),B(x2,y2), 设存在实数m,使?AOB为锐角,则OA?OB?0
?x1x2?y1y2?0
因为 y1y2?(?mx1?2m)(?mx2?2m)?m2x1x2?2m2(x1?x2)?4m2
?(1?m2)x1x2?2m2(x1?x2)?4m2?0
?(1?m2)(4m2?3)?8m4?4m2(m2?3)?0 即7m2?3?12m2?0 ?m2? ， 与m2?3矛盾 ?不存在 【知识点10】抛物线的标准方程与几何性质
【考试要求】掌握抛物线的标准方程与几何性质。重点讨论焦点在x轴上抛物线的标准方程。
【解读说明】掌握抛物线的定义和方程，会解决直线和抛物线的综合问题。 【举例说明】
1、 若抛物线y2?2px(p?0)上横坐标为3的点到焦点的距离等于5，则p= 【答案】4
2、 经过抛物线y2?4x的焦点F作倾斜角为的弦AB，则AB的长为 【答案】
16 335?33、 若动点P到点F(4,0)的距离比到直线x?5?0的距离少1，则动点P的轨迹方程是
【答案】y2?16x
4、设抛物线y2?4x上一点P到该抛物线准线与直线
l：4x?3y?6?0的距离之和为d，若d取到最小值，则点P的坐标
为 . 【答案】(,)
5、设常数a?0，对x1,x2?R， P(x,y)是平面上任意一点，定义运算“?”：x1?x2?(x1?x2)2?(x1?x2)2， d1(P)?d2(P)?1(x?a)?(x?a). 21x?x?y?y，21293（1）若x?0，求动点P(x,x?a)的轨迹C； （2）计算d1(P)和d2(P)，并说明其几何意义；
（3）在（1）中的轨迹C中，是否存在两点A1,A2，使之满足
d1(A1)?ad2(A1)且d1(A2)?ad2(A2)？若存在，求出a的取值范围，并
请求出d1(A1)?d1(A2)的值；若不存在，请说明理由.
【答案】解：（1）由y?x?a?(x?a)2?(x?a)2?4ax可知：
y2?4ax(x?0,y?0)，所以轨迹C为抛物线y2?4ax(x?0,y?0)在第一象
限内的部分，包括原点； （2）d1(P)?11x?x?y?y?4x2?4y2?x2?y2， 221d2(P)?4(x?a)2?|x?a|， 分别表示P点到原点和到直线x?a的
2距离；
（3）设若存在为A1(x1,y1)A2(x2,y2)，则由d1(A1)?ad2(A1)且
d1(A2)?ad2(A2)得
?x2?y2?a|x?a|11?1?22?x?ya|x2?a|2??1，即
222223???x1?4ax1?a(x1?2ax1?a)?(a?1)x1?(4a?2a)x1?a?0， 即?， ?222223???x2?4ax2?a(x2?2ax2?a)?(a?1)x2?(4a?2a)x2?a?0所以x1、x2是方程(a?1)x2?(4a?2a2)x?a3?0的两个根.
??(4a?2a2)2?4(a?1)a3?0???0?2??4a?2a要使A1,A2存在，必须?x1?x2?0，即?， ?0?xx?0?a?1?12?a3?0?a?1? 所以必须a?1.
a34a?2a2当a?1时，由于(x1?a)(x2?a)?x1x2?a(x1?x2)?a??a?a2?
a?1a?1a3?4a2?2a3?a3?a2?5a2???0，即x1?a与x2?a异号. a?1a?12或设f(x)?(a?1)x2?(4a?2a2)x?a3，由 f(a)?(a?1)a2?(4a?2a2)a?a3?a3?a2?4a2?2a3?a3??5a2?0 得a介于x1、x2之间，即x1?a与x2?a异号. 所以d1(A1)?d1(A2)=a(|x1?a|?|x2?a|)=a|(x1?a)?(x2?a)|
(2a2?4a)24a32aa?=a=5a?4。 a?1a?1(a?1)2
6、如图，平面上定点F到定直线l的距离|FM|?2，P为该平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且PQ?FQ?|QF|2．[来 （1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点P的轨迹C的方程； （2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点N， 已知NA??1AF，NB??2BF，求证：?1??2为定值． 【答案】（1）方法一：如图，以线段FM的中点为原点O，
以线段FM所在的直线为y轴建立直角坐标系xOy．则，F(0,1)．
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