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升电机温度信号 电机径向振动信号
2.2.2 经验模态分解(EMD)方法
一、经验模态分解方法简介
1998年，美国NASA的黄锷博士提出经验模态分解(简称EMD))方法。这种信号分析方法，能依据数据自身的时间尺度特征进行信号分解，不需预先设定任何基函数。这一点与建立在先验性的小波基函数和谐波基函数上的傅里叶分解与小波分解方法具有着本质性差别。正因如此，EMD 方法在理论上可应用于任何类型的信号的分解，所以在处理非线性数据及非平稳信号上，有很高的信噪比，具有明显的优势。EMD方法迅速在不同的工程领域得到了有效的应用, 例如在大气、天体、海洋观测资料与机械故障诊断、地震记录分析以及大型土木工程结构的模态参数识别等方面都发挥了很大的效用。
该方法的关键是经验模式分解，它能使复杂信号分解为有限个本征模函数(简称IMF)，所分解出来的各IMF分量包含了原信号的不同时间尺度的局部特征信号。经验模态分解法先使非平稳数据平稳化，然后运用希尔伯特变换得到时频谱图，求得有物理意义的频率。与小波分解和短时傅立叶变换等方法相比，这种方法更直观、直接，而且具有后验性的和自适应性。
为了通过希尔伯特变换获得物理意义明确的瞬时频率，Gabor、Bedrosian和Boashash等都研究过信号的限制条件。提出的有些限制条件尽管能够在数学上得到证明，但是这些条件都是在整个时域或整个频域上，缺乏“局部”意义，因此我们无法从中获得处理信号的方法。为此，黄锷将全局限制条件拓展为局部的限制条件，并开拓性提出了的固有模态函数的概念，使希尔伯特变换得到的瞬时频率能够反映出信号所蕴含的物理机制。
固有模态函数（IMF）是满足如下两个准则的函数：
（1）函数在整个时间内，零交点数与局部极点数必须相等或最多相差一个；
（2）在任意时刻点，由局部极大值包络线和由局部极小值包络线之
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间的平均值为零。
第一个条件是很明显的，它类似传统的平稳高斯信号的窄带要求。第二个条件是一个新的概念，把经典的全局要求修改为局部要求，使瞬时频率不受不对称波形的不必要的波动所影响。 二、EMD方法的分解过程
EMD分解方法是基于以下假设条件：
(1)信号至少有两个极值点，一个极大值和一个极小值；(2)特性时间尺度定义是由极值点间的时间尺度唯一确定；(3)如果信号数据没有极值点但有拐点，对其微分一次或多次求得极值，然后再对所得结果积分来获得相应分量。
基于以上的假设条件，对假设信号x(t)进行筛选的具体步骤是： （1）首先确定出信号数据序列x(t)的极值点，然后将所有极大值点和极小值点分别用三次样条的曲线连接起来，将这两条曲线分别作为的上下包络线，得出它们的均值曲线m1(t)。
用x(t)减 m1?t?：
h(t)?x(t)?m1(t) 1 （2-1）
h2(t)： 若 h1(t)不满足IMF的条件，需要重复上面的步骤得到 h2(t)?h1(t)?m2(t) （2-2） ht(t)成为一个IMF，即： 重复筛选k次到
hk(t)?h(k?1)(t)?mk(t) （2-3）
这样就分解出第一个IMF，称为第一阶IMF，记作：
（2-4）
c(t)r(t)（2）原信号减去1得第一阶的剩余信号1：
r1(t)?x(t)?c1(t) （2-5）
r(t)r(t)规定1为新的原信号，重复步骤（1）。同理，1也进行相同的筛选，得：
r1(t)?c2(t)?r2(t)??rn?1(t)?cn(t)?rn(t)
c1(t)?kh(t) （2-6）
当
rn(t)变成一个单调函数时，结束。得到：
x(t)??ci(t)?rn(t) （2-7）
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即把原始数据表示为固有模态函数分量和一个残余项的和。
第三章 小波包分析原理
3.1 小波包分析理论
小波及小波分析突破了传统傅氏变换在时域没有任何分辨率的局限，具有良好的时频分析特性，特别适合于非平稳信号的处理。小波分析可以对指定频带和时间段的信号成分进行分析，从而在时域和空域上同时具有良好的局部化性质。并且由于可以对频率成分采用逐渐精细的时域或空域取样步长，因此理论上可以聚焦到信号的任何细节，被人们誉为数学显微镜。
小波包是继小波分析后提出的一种新型的多尺度分析方法，解决了小波分析在高频部分分辨率差的缺点，体现了比小波分析更好的处理效果。小波包分析能够为信号提供一种更加精细的分析方法，它将频带进行多层次划分，对多分辨分析没有细分到的高频部分进一步分解，并能够根据被分析信号的特征，自适应地选择相应频带，使之与信号频谱相匹配，从而提高了时一频分辨率。它兼顾了加窗Fourier变换和小波变换的优点，本文将经过EMD方法处理过的IMF分量分解到具有相同带宽不同频道的通道内。利用小波包进行振动信号分析，可以有效地获取信号的特征，并将其量化，为状态监测和精确的故障预测提供了可靠的依据。
在多分辨率分析中，给定的正交尺度函数 ?(t)和小波函数 ?(t)，他们的二尺度关系为：
（3-1）
?(t)?
2?hk?2t?k?k?(t)?
2?gk?2t?k?k （3-2）
式中， k和 k是多分辨率分析中的滤波系数。
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(t)??(t)， 为了进一步推广二尺度方程，令 (t)??(t)定义01uu下列递推关系：
u2n(t)?u2n?12?hkun?2t?k?k?z（3-3）
( t ) ? 2 2 t ? k （3-4）
k?z?gkun??
t被称为由标准尺度函数 则 ?(t)所确定的小波包函数。 n
3.2 小波包的正交性质
（1）平移正交性
u??un(t)n?z为标准正交小波基的尺度函数 (t)??(t)所生设函数族 0??u成的小波包，具有如下的正交平移性：
n ( t ? ? n ( t ? l ) ? n （3-5） k )uu?k,l?z（2） 2n?1的正交关系 2n和
uu(t)??(t)所生un(t)n?z为标准正交小波基的尺度函数 设函数族 0??u成的小波包，具有如下的正交关系：
2 ? 2 n ? t l ) n k , l ? z （3-6） (tk ) ?(??n1
3.3 小波包的子空间分解
uu??t?就是尺度函数；当n=1从公式（3-3）和（3-4）得知，当n=0时， u0?un(t)?n?z是标准尺度函数 时， u1?t?就是小波函数。设 ?(t)确定的
小波函数，令：
Uj
n?span2?j/2un?2t?k?k?Z?jj?Z,n?Z（3-7）
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0??VjUj? ? （3-8）
1?Wj?Uj?
则有：
U
n?Uj?12nj?U2n?1j(3-9)
式中， 是尺度空间； VWj是小波子空间。 j则，小波子空间 Wj按二进制分解：
23????WjUj?1Uj?14567?wda????UUUUj?2j?2j?2j?2???qed1????1?122?????hauf?U2Uj?kUj?kj?k??1?122?afasf?U2????U0U00?kkk?1jjk?1 （3-10）
由（3-10）得到小波包分解的一般形式：
?ml2,l?1,2,3?;m?0,1,2?; j ?? U 2 ? 1 0 ,1 , 2 （3-11）
j?1
l（3-10）分解如图3.1所示，其中是对j=1,2,3时。A表示低频，W表示高频。
图3.1 小波包子空间分解
3.4小波基函数的选择
小波基的选取标准因其所处的不同的应用领域而不同，在工程实际应用中，小波基函数ψ(t)的选择应满足以下条件：
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