上海海事大学硕士毕业论文
（1）正交性。考虑信号的重构精度，正交基是信号重构最理想的奇函数。
（2）紧支性。若函数ψ(t)在 [a,b] 区间外恒等于零，称函数紧支在这个区间上，具有这个性质的小波称为紧支撑小波。支撑性表示的是函数的衰减速度，不同的支撑长度，对应不同频率和时间的局部刻化能力。选择小波基时，紧支撑区间越大，则反映的频域局部性态的能力越强；当紧支撑区间越小时，则反映时域局部性态的能力越强。
?d??????（3）小波容许条件。也就是 。其中， ??(?)2?(?)???(x)exp(?j?x)dx这样才存在其反变换。
目前常用的小波基函数有： （1）Haar小波
Haar函数是小波分析中最早应用的标准正交小波，也是一个最简单的函数。定义如下：
0?x?0.5?1?0.5?x?1?(t)???1 ? 0 其他
?
(3-12)
该函数在时域上是不连续的，因此在小波基函数上的性能并不好。因为其机构简单，常用于理论研究。
（2） Daubechies(dbN) 小波
Daubechies 小波是具有紧支性的标准正交小波，它让离散小波分析成为可能。Daubechies系中的小波基为 dbN，N 是序列号，N=1,2,3…..。Daubechies 没有明确的表达式，除db1就是Haar小波外。
dbN 的性质如下：大多数不具有对称性，正则性随着N的增加而增加，支撑长度为2N－1，小波函数的消失矩为N；函数具有正交性。
（3）Morlet 小波 Morlet 函数定义为：
? x ? C 2 cos 5 x （3-13）
??e?x2??它是单频复正弦调制高斯波的一种，具有很好的时频局部性和时域波
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形对称性。所以，它适应于连续信号的小波分析和复数信号的时频分析。但是，其不具有正交性和尺度函数，因此无法重构分解后的信号。
依据选择小波基的要求和常有小波函数的性质，本文的小波基函数采用Daubechies 小波。
3.5小波包能量
小波包分解的结果用能量方式表示出来就是小波包能量谱。在小波变
2换中，信号 L?R?空间上的2范数定义为： f(t)在
f22??Rf(t)2dx（3-14）
由此可知，信号2范数的平方就是原始信号在时域上的能量。据小波变换的理论，若基本小波是一个允许小波 ?(t)，则存在：
?da?dbW?RRf(a,b)/a2?f22(?f?L?R?)2（3-15）
f关于?s?1式中， 的W?f是信号 a为变换尺度，b是平移参数；
小波变换。所以，原始信号能量和小波变换能量之间是等价的。
下面是提取小波包能量的具体步骤：
（1）信号进行J层小波包分解，提取各层的分解系数，共2J个频率成分。（j,i）表示的是第j层第i个节点，其中，j=0,1,2…..J；i=0,1,…..N-1。以Xj,i表示（j,i）节点的小波包系数。
（2）重构小波包分解系数，提取各频带范围内的信号。以Sj,i表示Xj,i重构信号，总信号表示为：
S=SJ,0+SJ,1+……SJ,N-1 (3-16) （3）求各频带能量。设小波包分解后第j层第i个频带的重构信号Sj,i-1对应的信号能量为Ej,i-1，则有：
2 n 2
?1i ?,k j ,i j , 1 i ? 1 （3-17）
k?1E??S(t)dt??x 19
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xi?1,k为重构信号 Sj,i?1的离散点幅值。 其中，
Daubechies小波中，N只需要计算到3、4、5，便可以满足要求，因为它的小波函数和尺度函数都具有紧支性。我们根据对桥吊电机温度和振动的信号的反复对比、调试，选择Daubechies小波系中的db3小波函数作为本文下一章的小波包分析的小波基函数。对信号进行3层小波包分解，提取重构信号的小波包能量。
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第四章 桥吊电机低频温度相关性研究
4.1 电机低频温度与振动的相关性研究
4.1.1 基于小波包分解的桥吊电机信号的能量提取
桥吊的振动是影响电机温度的一个重要因素，我们要引起足够的重视，对于大多数信号来说，低频部分往往是最重要的，往往给出了信号的特征。而高频部分则与噪音及扰动联系在一起。信号的高频部分去掉，其基本特征仍然可以保留，正因为这个原因，我们在分析信号的分析中研究低频将更为有效。
论文的研究对象海某集装箱码头的四台桥吊经行现场实验并采集的数据。该实验建立在由上海海事大学研制的NetCMAS系统（网络型起重机状态监测与评估系统）基础之上的，从系统中可输出所需32个测点（测点分布如图4示）的实时信号数据，包括振动、振动烈度、温度、应力、角度这五种信号。桥吊8115在2011年3月6日为起始的左侧电机一周的温度信号和振动烈度（V向、A向）如图4-1和图4-2所示，我们以此为例对本论文的研究进行说明。
图4-1 一周温度图 图4-2 一周振动烈度图
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实际应用中将从传感器采集来的大量信号f(t)经过前置滤波器、A／D
?sk转换后，变成数字信号。为了实现数字信号的小波包分解，设{ ，k N }为离散序列，定义算子：
??hF?Sk???0jk?Nk?2jSSk（4-1）
??gF?Sk???1jk?Nk?2jk（4-2）
p
设{ } f?00?,p?N为所用信号的离散序列，小波包分解的算法为：
f?2n,j?1??F?f?n,j???p0p1p?（4-3） （4-4）
f?2n?1,j?1??F?f?n,j????p式中，p为小渡包分解各序列序列点；f为小波包分解层数。小波包三层分解重构后，总信号S可表示为：
S=S(3,0)+S(3,1)+S(3,2)+S(3,3)+S(3,4)+S(3,5)+S(3,6)+S(3,7) 以能量为元素可以构造一个特征向量。特征向量T构造如下：
T=[E0，E1，E2，E3，E4，E5，E6，E7]
方差是衡量机械振动的又一重要指标，它刻画了振动偏离其平均程度的大小，描述出振动的剧烈程度。
21n Dkj??Skj?m??Skj?m? （4-5）
nm?1??根据的能量特征，建立能量变化到电机温度与振动的映射关系，将温度信号与振动信号在低频段重构的能量比较，分析低频能量的变化关系，确定内部温度和振动的相关联系，从而服务健康评价系统。方差是衡量机械振动的又一重要指标，它刻画了振动偏离其平均程度的大小，描述出振动的剧烈程度，方差越小，状态越佳。
本文的数据是以7天为周期进行保存。下面是以2011年3月6日开始的采集数据进行三层小波包分解。
（1）编写MATLAB三层小波包分解系数提取程序（详见附录1）对去过毛刺的左侧电机的温度信号（测点HML1W）和径向振动信号（测点HML1V）、
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