六大定理的相互证明总结
XXX 学号
数学科学学院 数学与应用数学专业 班级
指导老师 XXX
摘要 在《数学分析》中第二部分极限续论中提到的实数的基本定理一共提到六大定理，其中包括确界定理，单调有界原理，区间套定理，致密性定理，柯西收敛定理，有限覆盖定理.该六大定理在闭区间上连续函数性质的证明起着同等重要的作用.本文总结了六大定理的相互证明.
关键词 确界定理、单调有界原理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛定理、有限覆盖定理
1 确界定理
1.1 确界定理 有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界. 1.2 确界定理证明区间套定理 证明：设一无穷闭区间列??an,bn?（1）后一个区间在前?适合下面两个条件：
一个区间之内，即对任一正整数n，有an?an?1＜bn?1?bn，（2）当n??时，区间列的长度??bn?an??bn?an??0. ?所成的数列收敛于零，即limn??显然数列?an?中每一个元素均是数列?bn?的下界，而数列?bn?中每一个元素均是数列?an?的上界.由确界定理，数列?an?有上确界，数列?bn?有下确界. 设??inf?bn?,??sup?an?.显然an???bn,an???bn. 又?lim?bn?an??0 ????
n??即?an?及?bn?收敛于同一极限?，并且?是所有区间的唯一公共点. 1.3 确界定理证明单调有界原理[1]
证明：我们只就单调增加的有界数列予以证明.因?yn?有界，则必有上确界
??sup?yn?.现在证明?恰好是?yn?的极限，即yn??.
由上确界的定义有：⑴yn??（n?1,2,3…），⑵对任意给定的?＞0，在?yn?中至少有一个数yN，有yN＞???.但由于?yn?是单调增加数列，因此当n＞N时，
有yn?yN，从而yn＞???.也就是说：当n＞N时，有 0???yn＜? 所以 yn?? 2 单调有界原理
2.1 单调有界原理 单调有界数列有极限. 2.2 单调有界原理证明致密性定理
在证明定理之前，我们要先证明一个引理：任意一个数列?xn?必存在单调子数列. 证明：⑴若?xn?中存在递增子序列xnk，则引理已证明；
⑵若?xn?中无递增子序列，那么?n1＞0，使n＞n1，恒有xn1＞xn.同样在?xn?（n＞n1）中也无递增子序列.
于是又存在n2＞0，使n2＞n，恒有xn2＜xn＜xn1.如此无限进行下去便可得到一严格递减子序列xnk. 引理得证.
下面证明定理：由引理知，有界数列必有有界单调子数列.又由单调有界原理知，该有界单调子数列必有极限，即该子数列是收敛的.故有界数列必有收敛子列. 2.3 单调有界原理证明区间套定理[1]
由定理的条件立即知道?an?是单调增加有上界的数列，?bn?是单调递减有下界的数列.根据定理，则liman存在，且极限等于?an?的上确界.同样，limbn也存在，
n??n??????且极限等于?bn?的下确界.亦即对任何正整数k，有
ak?liman,bk?limbn （*）
n??n??由定理的另一条件： lim?bn?an??0，并且由于已知?an?及?bn?的极限都存在，
n??则有lim?bn?an??limbn?liman?0.
n??n??n??从而证明了两个极限相等，且设?是它们的同一极限.于是定理前一部分的结果即已证得.剩下要证的是：?是所有区间的唯一公共点.由（*）的两个不等式，
即有 ak???bn（k?1,2,3…）
也就是?是所有区间的一个公共点.现在要证明?是所有区间的唯一公共点.设除点?外，所设区间列还有另外一个公共点?'，且?'??.由于an??,?'?bn（n?1,2,3…），故有
bn?an??'?? （n?1,2,3…） 由数列极限的性质知道：
lim?bn?an???'??
n??由于lim?bn?an??0，故有
n?? ?'???0
从而有?'??.到此定理的全部结果都已得证. 3 区间套定理
3.1 区间套定理 设一无穷闭区间列??an,bn?时，区间列的长度??bn?an?共点.
3.2 区间套定理证明单调有界原理 证明：设数列?xn?递增有上界.
取闭区间?a1,b1?，使a1不是数列?xn?的上界，b1是数列?xn?的上界.显然在闭区间?a1,b1?内含有数列?xn?的无穷多项，而在?a1,b1?外仅含有数列?xn?的有限项. 对分?a1,b1?，取?a2,b2?，使其具有?a1,b1?的性质.故在闭区间?a2,b2?内含有数列
（1）后一个?适合下面两个条件：
区间在前一个区间之内，即对任一正整数n，有an?an?1＜bn?1?bn，（2）当n???bn?an??0，则区?所成的数列收敛于零，即limn??间的端点所成两数列?an?及?bn?收敛于同一极限?，并且?是所有区间的唯一公
?xn?的无穷多项，而在?a2,b2?外仅含有数列?xn?的有限项.
以此方法，得区间列??an,bn??.
由区间套定理，?是所有区间的唯一公共点.
显然，在?的任何邻域内有数列?xn?的无穷多项，即??＞0，?N?N*，当n＞
N时，有xn??＜?.
所以limxn?? 定理得证.
n??3.3 区间套定理证明致密性定理[1]
证明：设?yn?为有界数列，即存在两个数a,b，使a?yn?b.等分区间?a,b?为两个区间，则至少有一个区间含有?yn?中的无穷个数.把这个区间记为?a1,b1?，如果两个区间都含有无穷个yn，则任取其一作为?a1,b1?.再等分区间?a1,b1?为两半，记含有无穷个yn的区间为?a2,b2?.这个分割手续可以继续不断的进行下去，则得到一个区间列??an,bn??，这个区间列显然适合下面两个条件：
（1）?a,b???a1,b1???a2,b2??… （2）bn?an?b?a?0 n2于是由区间套定理，必存在唯一点???a,b?使an??,bn??，且???ak,bk?（k?1,2,3…）.
每一?ak,bk?中均含有?yn?的无穷个元素.
在?a1,b1?中任取?yn?的一项，记为yn1，即?yn?的第n1项.由于?a2,b2?也含有无穷个yn，则它必含有yn1以后的无穷多个数，在这些数中任取其一，记为yn2，则n1＜n2.继续在每一?ak,bk?中都这样取出一个数ynk，即得?yn?的一个子列ynk，其中n1＜n2＜…＜nk＜…，且ak?ynk?bk.令k??，由于ak??,bk??,故
??ynk??.这就是定理所要的结果. 4 致密性定理
4.1 致密性定理 又称魏尔斯特拉斯定理，任一有界数列必有收敛子列. 4.2 致密性定理证明单调有界原理
证明：不妨设?xn?单调递增且有界，根据致密性定理有收敛子列xnk. 令limxnk?a.于是，对??＞0，?k0，当k＞k0时，有
k???? xnk?a＜? （*） 由于?xn?单调递增，显然恒有xn?a（n?1,2,3…）. 由此（*）式可改成0?a?xnk＜? （k＞k0） 取N?nk0，当n＞N时有 0?a?xn?a?xnk＜? 所以 limxn?a
n??4.3 致密性定理证明柯西收敛原理[1] 证明：首先证明条件的必要性：
设xn?a，则对任意给定?＞0，有一正整数N，当k＞N时，有 xk?a＜从而当m,n＞N时，有
xn?xm?xn?a?a?xm＜其次证明条件的充分性：
首先，证明满足条件的任何数列必有界.从所设条件，取?=1，必有一正整数N0，当m,n＞N0时，有xn?xm＜1
特别地，当n＞N0且m?N0?1时，有 xn?xN0?1＜1 从而当n＞N0时，有 xn?xn?xN0?1?xN0?1＜1+xN0?1
这就证明了?xn?的有界性.由致密性定理，必有收敛子列xnk，设limxnk?a.
k??? 2??+=? 22??根据子列收敛定义，对任意给定的?＞0，必有正整数K，当k＞K时，有 xn?a＜?
取一正整数k0?max?K?1,N?1?.于是k0＞K，且nko?nN?1?N?1＞N.因此，当n＞N时，由已知条件有xn?xnk0＜?，所以
xn?a?xn?xnk0?xnk0?a＜?+?=2?
即 limxn?a
n??5 柯西收敛原理