5.1 柯西收敛原理 数列?xn?有极限的必要与充分条件是：对任意给定的?＞0，有正整数N，当m, n＞N时，有xn?xm＜?. 5.2 柯西收敛原理证明单调有界原理
证明：反证法，设?xn?为一递增且有上界M的数列.假设其没有极限，则用柯西收敛原理表达就是??＞0，对?N?N*，当m,n＞N时，有 xn?xm?? 取??1，必有一正整数N1，当n1,n2＞N1时，有xn2?xn1?1. 又由于数列?xn?为一递增的数列，所以xn2?xn1?xn2?xn1?1 取??1，必有一正整数N1，当n2,n3＞N1时，有xn3?xn2?1 取??1，必有一正整数N1，当n3,n4＞N1时，有xn4?xn3?1 …………… …………… …………… 取??1，必有一正整数N1，当nk,nk?1＞N1时，有xnk?1?xnk?1 将以上式子相加，得xnk?1?k?1?? （k??） 与数列?xn?有上界M矛盾，假设不成立. 即，单调有界数列有极限. 5.3 柯西收敛原理证明致密性定理
证明：反证法，设?xn?为一有上界M的数列. 假设其没有收敛子列.
由子列收敛的定义，则??＞0，对?N?N*，当nk?1,nk＞N时，有xnk?1?xnk??. 取??1，必有一正整数N1，当n1,n2＞N1时，有xn2?xn1?1 取??2，必有一正整数N2，当n2,n3＞N2时，有xn3?xn2?2 取??3，必有一正整数N3，当n3,n4＞N3时，有xn4?xn3?3 …………… …………… …………… 取??k，必有一正整数Nk，当nk,nk?1＞Nk时，有xnk?1?xnk?k 显然与数列?xn?有上界M矛盾，假设不成立. 即，任一有界数列必有收敛子列. 6 有限覆盖定理
6.1有限覆盖定理 若开区间所组成的区间集E覆盖一个闭区间[a,b],则总可以从E中选出有限个区间，使这有限个区间覆盖[a,b]. 6.2 有限覆盖定理证明确界定理
证明：在这里我们只说明定理的上确界部分.
设不为空集的区间E?R，?x?E,有x?M,任取一点x0?E，假设E无上确界，那么?x?[x0,M]:
ⅰ)当x为E的上界时，必有更小的上界x1＜x,因而x存在一开邻域?x，其中每一点均为E的上界，称其为第一类区间；
ⅱ）当x不是E的上界时，则有x2?E使x2＞x,那么x存在一开邻域?x，其中每点均不是E的上界，称其为第二类区间.
? 当x取遍[x0,M]上每一点找出一个邻域?x.
显然?x不是第一类区间就是第二类区间.这些邻域组成闭区间[x0,M]的一个开覆盖，由有限覆盖定理，必存在有限子区间覆盖[x0,M].显然M所在的开区间应为第一类区间，与其邻接的开区间?x有公共点.
所以?x??x，x均为E的上界.而与?x相邻接的开区间?'x有公共点，所以
?x??'x，x均为E的上界.
依此类推，x0所在的开区间也是第一类区间，则x0为E的上界. 又?x0?E，?E为常数集.由此矛盾引出. 得证.
同理，E有下确界.
6.3 有限覆盖定理证明致密性定理
证明：设?xn?是一有界数列，现在证明?xn?有收敛子列.
（1）如果?xn?仅由有限个数组成，那么至少有一个数?要重复无限多次，即（2）如果?xn?是由无穷多个数组成，由有界性知，存在闭区间?a,b?，使对一切自然数n都有a＜xn＜b
在?a,b?内至少存在一点x0，使对于任意的正数?，在?x0??,x0???内都含有?xn?中无穷多个数.事实上，倘若不然，就是说对于?a,b?中每一点x，都有?x＞0，在?x??x,x??x?内，仅有?xn?中的有限个数.考虑所有这样的开区间所成之集：
?=xn1?xn2?…=xnk?… 因而子列?xnk?收敛于?.
????x??x,x??x?的有限多个区间.
?，?完全覆盖了闭区间?a,b?，依有限覆盖定理，存在?中
?1?x1??x1,x1??x1，…，?n?xn??xn,xn??xn，他们也覆盖了?a,b?，并且在每一个?i（i?1,2,…,n）中都只含?xn?中的有限多个数.因此?xn?也最多是由有限个数组成，这与假设矛盾.
????1于是，对于?k=（k?1,2,3,…），于?x0??k,x0??k?内取?xn?中无穷多个点，就
k1得到?xn?的子列xnk满足：xnk?x0＜?k?（k?1,2,3,…）从而limxn1?x0得
k??k证.
??总结：六大定理可以分为两类： ① 有限覆盖定理：反映区间上的整体性质； ② 其余五个：反映函数在一点上的性质.
实数的六个基本定理在理论上很有用，在之后的闭区间上的函数的性质的证明上发挥着重要的作用.
本文在写作过程中得到了XXX老师的多次精心指导，在此表示感谢.
参考文献：
[1] 陈传璋 金福临 朱学炎 .《数学分析（上）》.高等教育出版社.1983.7