4242
|x－?x＋2?||2|x?x?4
则点P到直线x－y＝0的距离为＝＝2.(4分)
22x又PM的造价为5万元/百米，PN的造价为40万元/百米， 324
x＋2?(1≤x≤9)．(8分) 则两条道路总造价为f(x)＝5x＋40·2＝5??x?x324
x＋2?， (2) 因为f(x)＝5x＋40·2＝5??x?x645（x－64）
1－3?＝所以f′(x)＝5?.(10分) ?x?x3令f′(x)＝0，得x＝4，列表如下：
x f′(x) f(x) (1，4) － 单调递减 4 0 极小值 (4，9) ＋ 单调递增 3
32
4＋2?＝30.(13分) 所以当x＝4时，函数f(x)有最小值，最小值为f(4)＝5??4?32
x＋2?(1≤x≤9)； 答：(1) 两条道路PM，PN总造价为f(x)＝5??x?(2) 当x＝4时，总造价最低，最低造价为30万元．(14分)
32xx323
x＋2?＝5?＋＋2?≥5×38＝30， (注：利用三次均值不等式f(x)＝5??x??22x?xx32
当且仅当＝＝2，即x＝4时等号成立，照样给分)
22x18. 解：(1) 令n＝1，得a2＝
2. 1＋λ
2λ＋4
令n＝2，得a2S3－a3S2＋a2－a3＝λa2a3，所以a3＝.(2分)
（λ＋1）（2λ＋1）由
a22＝a1a3，得
2λ＋4?2?＝
?1＋λ?（λ＋1）（2λ＋1），因为λ≠0，所以λ＝1.(4分)
2
11
(2) 当λ＝时，anSn＋1－an＋1Sn＋an－an＋1＝anan＋1，
22Sn＋1SnSn＋1＋1Sn＋11111
所以－＋－＝，即－＝，(6分)
an2an＋1an＋1an＋1an2an＋1
?Sn＋1?1
?是以2为首项，公差为的等差数列， 所以数列?
2?an?
Sn＋1n3?1
所以＝2＋(n－1)·，即Sn＋1＝??2＋2?an，①(8分) an2当n≥2时，Sn－1＋1＝?①－②得，an＝
n－13??2＋2?an－1，②
n＋3n＋2
an－a，(10分) 22n－1
an－1an即(n＋1)an＝(n＋2)an－1，所以＝(n≥2)，(12分)
n＋2n＋1
?an?11
所以?n＋2?是首项为的常数列，所以an＝(n＋2)．(14分)
33??
n3?n＋5n＋an－1＝代入①得Sn＝?.(16分) ?22?6
1
19. 解：(1) 因为左顶点为A(－4，0)，所以a＝4.又e＝，所以c＝2.(2分)
2x2y2
因为b＝a－c＝12，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(4分)
1612
2
2
2
2
xy?2?16＋12＝1，x2[k（x＋4）]
(2) 直线l的方程为y＝k(x＋4)，由?消元得＋＝1.
1612
??y＝k（x＋4），化简得(x＋4)[(4k2＋3)x＋16k2－12]＝0， －16k2＋12
所以x1＝－4，x2＝.(6分)
4k2＋3
－16k2＋12?－16k2＋12－16k2＋1224k?24k??＋4?＝2，所以D?，2?. 当x＝时，y＝k?2224k＋3?4k＋3?4k＋3?4k＋3?4k＋3－16k212k3
因为点P为AD的中点，所以P的坐标为(2，2)，则kOP＝－(k≠0)．(8分)
4k4k＋34k＋3直线l的方程为y＝k(x＋4)，令x＝0，得E点坐标为(0，4k)，
假设存在定点Q(m，n)(m≠0)，使得OP⊥EQ， 3n－4k
则kOPkEQ＝－1，即－·＝－1恒成立，
4km
??4m＋12＝0，??m＝－3，
?所以(4m＋12)k－3n＝0恒成立，所以即? ?－3n＝0，?n＝0，??
22
因此定点Q的坐标为(－3，0)．(10分)
(3) 因为OM∥l，所以OM的方程可设为y＝kx。
x2y2??16＋12＝1，43由?得M点的横坐标为x＝±.(12分) 24k＋3??y＝kx，AD＋AE|xD－xA|＋|xE－xA|xD－2xA
由OM∥l，得＝＝ OM|xM||xM|－16k2＋12＋8
4k2＋34k2＋91＝＝·(14分) 24334k＋324k＋3
61?4k2＋3＋?≥22，
＝??24k＋3?3?
63
当且仅当4k2＋3＝即k＝±时取等号，
24k2＋3AD＋AE3
所以当k＝±时，的最小值为22.(16分)
2OM132
x－x＋ax－a?，(2分) 20. 解：(1) 由题意，f′(x)＝ex??3?
因为f(x)的图象在x＝0处的切线与直线x＋y＝0垂直， 所以f′(0)＝1，解得a＝－1.(4分)
1344
x－2x2＋（a＋4）x－2a－4?＜－ex， (2) (解法1)由f(x)＜－ex，得ex??3?33即x3－6x2＋(3a＋12)x－6a－8＜0对任意x∈(－∞，2)恒成立，(6分)
即(6－3x)a＞x3－6x2＝12x－8对任意x∈(－∞，2)恒成立， x3－6x2＋12x＋81
因为x＜2，所以a＞＝－(x－2)2，(8分)
3－3（x－2）
1
记g(x)＝－(x－2)2，因为g(x)在(－∞，2)上单调递增，且g(2)＝0，
3所以a≥0，即a的取值范围是[0，＋∞)．(10分)
1344
x－2x2＋（a＋4）x－2a－4?＜－ex， (解法2)由f(x)＜－ex，得ex??3?33
即x3－6x2＋(3a＋12)x－6a－8＜0在(－∞，2)上恒成立，(6分)
因为x3－6x2＋(3a＋12)x－6a－8＜0等价于(x－2)(x2－4x＋3a＋4)＜0， ① 当a≥0时，x2－4x＋3a＋4＝(x－2)2＋3a≥0恒成立， 所以原不等式的解集为(－∞，2)，满足题意．(8分)
② 当a＜0时，记g(x)＝x2－4x＋3a＋4，有g(2)＝3a＜0，
所以方程x2－4x＋3a＋4＝0必有两个根x1，x2，且x1＜2＜x2，
原不等式等价于(x－2)(x－x1)(x－x2)＜0，解集为(－∞，x1)∪(2，x2)，与题设矛盾， 所以a＜0不符合题意．
综合①②可知，所求a的取值范围是[0，＋∞)．(10分) 132
x－x＋ax－a?， (3) 由题意，可得f′(x)＝ex??3?所以f(x)只有一个极值点或有三个极值点．(11分) 1
令g(x)＝x3－x2＋ax－a，
3
① 若f(x)有且只有一个极值点，所以函数g(x)的图象必穿过x轴且只穿过一次， 即g(x)为单调递增函数或者g(x)极值同号．
ⅰ) 当g(x)为单调递增函数时，g′(x)＝x2－2x＋a≥0在R上恒成立，得a≥1.(12分) ⅱ) 当g(x)极值同号时，设x1，x2为极值点，则g(x1)·g(x2)≥0，
2
由g′(x)＝x2－2x＋a＝0有解，得a＜1，且x21－2x1＋a＝0，x2－2x2＋a＝0， 所以x1＋x2＝2，x1x2＝a，
112
所以g(x1)＝x3－x＋ax－a＝x1(2x1－a)－x21111＋ax1－a 33112
＝－(2x1－a)－ax1＋ax1－a＝[(a－1)x1－a]，
3332
同理，g(x2)＝[(a－1)x2－a],
3
22
所以g(x1)g(x2)＝[(a－1)x1－a]·[(a－1)x2－a]≥0，
33化简得(a－1)2x1x2－a(a－1)(x1＋x2)＋a2≥0，
所以(a－1)2a－2a(a－1)＋a2≥0，即a≥0， 所以0≤a＜1.
所以，当a≥0时，f(x)有且仅有一个极值点；(14分)
② 若f(x)有三个极值点，则函数g(x)的图象必穿过x轴且穿过三次，同理可得a＜0. 综上，当a≥0时，f(x)有且仅有一个极值点； 当a＜0时，f(x)有三个极值点．(16分)
2016届高三模拟考试试卷(二)(苏北四市)
数学附加题参考答案及评分标准
21. A. 证明：连结OT.
因为AT是切线，所以OT⊥AP.(2分) 因为∠PAQ是直角，即AQ⊥AP， 所以AB∥OT，
所以∠TBA＝∠BTO.(5分)
又OT＝OB，所以∠OTB＝∠OBT，(8分)
所以∠OBT＝∠TBA，即BT平分∠OBA.(10分) B. 解：矩阵A的特征多项式为f(λ)＝?由f(λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3.(4分)
??x－2y＝0，
当λ1＝2时，特征方程组为?
?x－2y＝0，?
?λ－1 －2?2
?＝λ－5λ＋6，(2分)
1 λ－4??
?2?故属于特征值λ1＝2的一个特征向量α1＝??；(7分) ?1?
??2x－2y＝0，
当λ2＝3时，特征方程组为?
?x－y＝0，?
1??故属于特征值λ2＝3的一个特征向量α2＝??.(10分)
?1?C. 解：圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋43x－4y＋13＝0， 即(x＋23)2＋(y－2)2＝3.(4分)
又A(0，－1)，B(0，－3)，所以AB＝2.(6分) P到直线AB距离的最小值为23－3＝3，(8分) 1
所以△PAB面积的最小值为×2×3＝3.(10分)
2D. 证明：因为x＞0，y＞0，x－y＞0， 11
2x＋2(4分) 2－2y＝2(x－y)＋x－2xy＋y（x－y）2311＝(x－y)＋(x－y)＋（x－y）2＝3，(8分) 2≥3（x－y）（x－y）2