【方法点击】在计算第二类曲线积分时，若被积函数或积分曲线比较复杂，可考虑使用格林公式．但须注意：
①要求曲线封闭，否则应适当进行补边． ②闭曲线为正向．
?P?Q,③在闭曲线围成的区域内连续． ?y?x?x?acos3t,(0?t?2?)围成图形的面积. 例7 计算星形线?3?y?asint,【分析】 作为格林公式的应用，可利用A?面积．
解 A?1?Lxdy?ydx求封闭曲线L所围区域的2?112?xdy?yd?x(3???L0222cao4s32st2in?t23acost4sin?t?d)t.
82a基本题型II：根据曲线积分与路径无关求第二类曲线积分 例8 计算积分I?yy(e?x)dx?(xe?2y)dy,L为过(0,0),(0,1)和(1,2)点的圆弧. ?L
y
o
图3-3
B A x 【分析】 该题的积分曲线方程和被积函数较复杂，若用参数方程解题很麻烦.考虑到
yP?ey?x,Q?xe?2y,
?P?Q?ey,积分与路径无关，采用折线法解之. ?ey,?y?x?P?Q?ey,所以I与路径无关.取折线?ey,?y?x12解 P?ey?x,Q?xey?2y,
OA?AB，则I??OAPdx?Qdy+?ABPdx?Qdy=?(1?x)dx??(ey?2y)dy=e2?007. 2例 9 设f?u?有一阶连续的导数，证明对任何光滑闭曲线L，有
?f?xy??ydx?xdy??0
L【分析】 只要证明与路经无关，就可得出证明 由
?f?xy??ydx?xdy??0.
L?f?xy??ydx?xdy?可知，P?yf?xy?,Q?xf?xy?，又f?u?有一阶连续的
L导数，所以
?P?Q， ?f?xy??xyf??xy???y?x故积分
?f?xy??ydx?xdy?与路经无关，从而对任何光滑闭曲线L，有
L?f?xy??ydx?xdy??0.
L基本题型III：二元函数全微分求积
例10 验证:(2x?siny)dx?xcosydy是某一函数的全微分,并求出一个原函数.
y
(x,y) o(x.0)
图3-4
解 P?2x?siny,Q?xcosy,
x?P?Q?cosy,所以原式在全平面上为?cosy,?y?x某一函数的全微分.取(x0,y0)?(0,0),
u(x,y)??(x,y)(0,0)Pdx?Qdy=?2xdx??xcosydy=x2?xsiny.
00xy例11 验证表达式4xy?3y?5dx?3xy?6xy?4dy为全微分，并求原函数. 解 P?x,y??4xy?3y?5,332?332??42?Q?x,y??3x4y2?6xy?4,
?P?Q?12x3y2?6y?． ?y?x故一定有u?x,y?，使du?Pdx?Qdy．
下面用两种方法来求u?x,y?． 解法一 用折线法： u?x,y?=
???x,y?0,0?Pdx?Qdy??P?x,0?dx??Q?x,y?dy
00xy ??x05dx???3x4y2?6xy?4?dy?5x?x4y3?3xy2?4y
0y故u?x,y?=5x?x4y3?3xy2?4y?C.
解法二 不定积分法：
?u?P?x,y??4x3y3?3y2?5,故两边对x积分可得: 由于 ?x u?x,y?= =又因为
??4xy33?3y2?5?dx?C?y?
x4y3?3xy2?5x?C?y?，
?u?Q?x,y??3x4y2?6xy?C'?y??3x4y2?6xy?4, ?y所以 C'?y???4,C?y???4y?C，
故u?x,y?=5x?x4y3?3xy2?4y?C.
3.4 教材习题解答
1. 计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性：
（1）
??2xy?x?dx??x?y?dy，其中L是由抛物线y?x22L222,y2?x所围成的区域的
解法一 据题设可知，曲线积分满足格林公式的条件，记D是L围成的闭区域，于是
??2xy?x?dx??x?y?dyL1x??Q?P?1. ?????dxdy?1?2xdxdy?dx1?x2dy??????2????0x?x?y?30D?D 解法二 设 L1:y?x,?x:0?1?;L2:x?y,?y:1?0?，则
22??2xy?x?dx??x?y?dy
22L ????2xy?x?dx??x?y?dy
22L1?L2L11L2??(2xy?x2)dx?(x?y2)dy??(2xy?x2)dx?(x?y2)dy??2x?x?x?x?2xdx??2y3?y42y?y2?y2dy01??32??4??0???????7341??63030
（2）
2. 利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积： (1) 星形线x?acos3t,y?asin3t （2） 椭圆9x2?16y2?144 （3） 圆x2?y2?2ax.
112?3333?xdy?ydx?acost(asint)?asint(acost)?dt
2?L2?012?33322 ??3asintcostdt??a
208解 （1）A???（2）椭圆的参数方程为x?4cos?,y?3sin?,0???2?
1?Lxdy?ydx 2?12??s?3c?o?s ??[4co20A?3??si?n(?d4s?i?n) ?]12（3）圆的参数方程为x?a?acos?,y?asin?,0???2?
A?1xdy?ydx??L2 12?osa)?co?sa ??[a(1?c?203.计算曲线积分
2??si?na(?sdi?n??) a]ydx?xdy22L，其中为圆周(x?1)?y?2（按逆时针方向） ?L2(x2?y2)Y 解 如图所示，
在D内作顺时针方向的小圆周L1?
L D L1 X ?x??cos?（0???2?）
?y??sin??Px2?y2?Q在L与L1上围成的区域D1上，有， ?2??y(x?y2)2?x由格林公式
ydx?xdy?Q?P?(?)dxdx?0 ?L?L2(x2?y2)???x?yD122222???sin???cos?ydx?xdyydx?xdy所以????L??0d???? 22222L2(x?y)2(x?y)2?14. 证明下列曲线积分在整个xoy面内与路径无关，并计算积分值： （1）
?(2,3)(1,1)(x?y)dx?(x?y)dy
解：P(x,y)?x?y,Q(x,y)?x?y
?P?Q??1，所以积分与路径无关. ?y?x 取路径直线y?2x?1,(1?x?2)从点(1,1)到点(2,3)
?(2,3)(1,1)2(x?y)dx?(x?y)dy
5???(x?2x?1)?(x?2x?1)(2x?1)??dx?12 （2）
?(3,4)(1,2)(6xy2?y3)dx?(6x2y?3xy2)dy
232解 P?6xy ?y,Q?62x?y3，xy?P?Q?12xy?3y2?，所以积分与路径无关. ?y?x取积分路径(1,2)?(3,2)?(3,4)
?31(3,4)(1,2)(6xy2?y3)dx?(6x2y?3xy2)dy
4??(24x?8)dx??(54y?9y2)dy?236
2(3)
?(2,1)(1,0)(2xy?y4?3)dx?(x2?4xy3)dy
423解：P(x,y)?2xy?y?3,Q(x,y)?x?4xy 显然
?P?Q??2x?4y3，所以与积分路径无关。取积分路径为(1,0)?(2,0)?(2,1)的?y?x折线，则 ?
?(2,1)(1,0)(2xy?y4?3)dx?(x2?4xy3)dy
1?213dx??(4?8y3)dy?5
0