5. 利用格林公式，计算下列曲线积分． （1）
其中L为三顶点分别为(0,0),(3,0)和(3,2)??(2x?y?4)dx?(5y?3x?6)dy，
L的三角形正向边界.
2 解
P?2x?y?4，Q?5y?3x?6，
3 X ?Q?P?3,??1 ?x?y原式???(D?Q?P?)dxdy???4dxdy?12 ?x?yD22x2x(xycosx?2xysinx?ye)dx?(xsinx?2ye)dy，其中L为正向星形线??L（2）
2323x?y?a(a?0).
解 P?x2ycosx?2xysinx?y2ex，Q?x2sinx?2yex，
23?Q?P?2xsinx?x2cosx?2yex? ?x?y原式???(D?Q?P?)dxdy?0 ?x?y2L （3）?(2xy3?y2cosx)dx?(1?2ysinx?3x2y2)dy，其中L为抛物线2x??y上由点A(0,0)到B(?2,1)的一段弧.
解 补有向线段AB:x??2(y:1?0)，BO:y?0(x:?2?0)
?DL(2xy3?y2cosx)dx?(1?2yisnx?3x2y2)dy
?Q?P?)dxdy??(2xy3?y3cosx)dx?(1?2ysinx?3x2y2)dyAB?x?y????(??(2xy3?y3cosx)dx?(1?2ysinx?3x2y2)dyB0
?0??01322?2(1?2y??y)dy?0?44
（4）
?(xL2?y)dx?(x?sin2y)dy，其中L是在圆周y?2x?x2上由点O(0,0)到
Y A X 点A(1,1)的一段弧.
解 补有向线段AB:x?1(y:1?0)，BO:y?0(x:1?0)
B ?L(x2?y)dx?(x?sin2y)dy????(D?Q?P?)dxdy??x?y?AB(x2?y)dx?(x?sin2y)dy
??BO0(x2?y)dx?(x?sin2y)dy
71?(1?siny)dy??x2dx???sin2
16420 ?0??1P(x,y)dx?Q(x,y)dy在整个xoy平面内是某一函数u(x,y)的全微分，验证下列6.
并求这样的一个u(x,y) （1）(x?2y)dx?(2x?y)dy
解：因为
?P?Q??2，所以是某个函数u(x,y)的全微分 ?y?x(x,y)(0,0)yu(x,y)??x(x?2y)dx?(2x?y)dy
??xdx??00x2y2(2x?y)dy??2xy?
22（2）2xydx?xdy 解：因为
2?P?Q??2x，所以是某个函数u(x,y)的全微分 ?y?x(x,y)(0,0)u(x,y)??
2xydx?xdy??0dx??x2dy?x2y
2xy00（3）4sinxsin3ycosxdx?3cos3ycos2xdy
解：因为
?P?Q??6cos3ysin2x，所以是某个函数u(x,y)的全微分 ?y?x(x,y)(0,0)u(x,y)??4sinxsin3ycosxdx?3cos3ycos2xdy
??0dx???3cos3ycos2xdy??cos2xsin3y
00xy（4）(3x2?8xy2)dx?(x3?8x2y?12yey)dy 解：因为
?P?Q??3x2?16xy，所以是某个函数u(x,y)的全微分 ?y?x(x.y)(0,0)u(x,y)??x20(3x2?8xy2)dx?(x3?8x2y?12yey)dy
2y??(3xy?8xy)dx??12yeydy?x3y?4x2y2?12yey?12ey
0（5）(2xcosy?y2cosx)dx?(2ysinx?x2siny)dy. 解 因为分.
?Q?P?2ycosx?2xsiny?，所以已知表达式是某个函数u(x,y)的全微?x?yu(x,y)?? ?(x,y)(0,0)(2xcosy?y2cosx)dx?(2ysinx?x2siny)dy
y?x02xdx??(2ysinx?x2siny)dy
0 ?y2sinx?x2cosy
7.设有一变力在坐标轴上的投影为X?x?y,Y?2xy?8，这变力确定了一个力场.证明质点在此场内移动时，场力所做的功与路径无关.
证明 场力所做的功为：W?2??(x?y2)dx?(2xy?8)dy
因为
?Y?X?2y?，所以上面积分与路径无关 ?x?y从而场力所做的功与路径无关.
8.判断下列方程中那些是全微分方程？对于全微分方程，求出它的通解 （4）(xcosy?cosx)y??ysinx?sin解 (xcosy?cosx)dy?(?ysin P(x,y)??ysinx?siny?0
x?siny)dx?0
y,Q(x,y)?xcosy?cosx,
?Q?P ?cosy?sinx??x?y所以，在xoy面内，原方程为全微分方程．利用折线法，得
u(x,y)??(0,0)(?ysinx?siny)dx?(xcosy?cosx)dy
(x,y)??00dx??0(xcosy?cosx)dy?xsiny?ycosx
xy故原方程的通解为为xsiny?ycosx?C
???9. 确定常数?，使在右半平面上x?0的向量A(x,y)?2xy(x4?y2)?i?x2(x4?y2)?j为某个二元函数的梯度，并求u(x,y)。
解：在单连通区域内，若P(x,y)，Q(x,y),具有一阶连续偏导数，则向量
????P?Q?在G内A(x,y)?P(x,y)i?Q(x,y)j为某个二元函数的梯度的充分必要条件是
?y?x恒成立.本题中，P(x,y)?2xy(x4?y2)?,Q(x,y)?x2(x4?y2)?
?P?2x(x4?y2)??2?xy(x4?y2)??1?2y ?y?Q??2x(x4?y2)???x2(x4?y2)??1?4x3 ?x由等式
?P?Q?得到：4x(x4?y2)?(1??)?0故得到???1 ?y?x?2??2xyi?xj即A(x,y)?，在半平面x?0内，取(x0,y0)?(1,0)得到
x4?y2u(x,y)??0dx??0xy0x2y dy??arctan422x?yx