2016高考全国Ⅱ卷数学（理）试题及答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
（1）已知z?(m?3)?(m?1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ）
1? （A）??3，【答案】A
（B）??1，3?
（C）?1,+??
（D）?-?，?3?
【解析】∴m?3?0，m?1?0，∴?3?m?1，故选A．
（2）已知集合A?{1,2,3}，B?{x|(x?1)(x?2)?0，x?Z}，则A?B?（ ）
（A）?1? 【答案】C
【解析】B?x?x?1??x?2??0，x?Z??x?1?x?2，x?Z?，
1，2，3? （B）{1，2} （C）?0，1，2，3} （D）{?1，0，??1?，∴A?B??0，1，2，3?， ∴B??0，故选C．
?????（3）已知向量a?(1,m)，b=(3,?2)，且(a?b)?b，则m=（ ）
（A）?8 （B）?6 （C）6 （D）8
【答案】D
??a 【解析】?b??4，m?2?， ??????∵(a?b)?b，∴(a?b)?b?12?2(m?2)?0
解得m?8， 故选D．
（4）圆x2?y2?2x?8y?13?0的圆心到直线ax?y?1?0 的距离为1，则a=（ ） 43（A）? （B）? （C）3 （D）2
34【答案】A
【解析】圆x2?y2?2x?8y?13?0化为标准方程为：?x?1???y?4??4，
故圆心为?1，4?，d?故选A．
（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）
a?4?1224?1，解得a??，
3a2?1
（A）24 （B）18 （C）12 （D）9 【答案】B
【解析】E?F有6种走法，F?G有3种走法，由乘法原理知，共6?3?18种走法
故选B．
（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） （A）20π （B）24π （C）28π （D）32π 【答案】C
【解析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，
设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h． 由图得r?2，c?2πr?4π，由勾股定理得：l?2?232??2?4，
1S表?πr2?ch?cl?4π?16π?8π?28π，
2故选C．
（7）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移（A）x?π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） 12kππkππkππkππ??k?Z? （B）x???k?Z? （C）x???k?Z? （D）x???k?Z? 2626212212【答案】B
π??【解析】平移后图像表达式为y?2sin2?x??，
12??π?πkππ???k?Z?， 令2?x???kπ+，得对称轴方程：x?12?226?故选B．
（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行 该程序框图，若输入的x?2，n?2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s?（ ）（A）7 （B）12 （C）17 （D）34 【答案】C
【解析】第一次运算：s?0?2?2?2，
第二次运算：s?2?2?2?6， 第三次运算：s?6?2?5?17， 故选C．
?π?3（9）若cos?????，则sin2?=（ ）
?4?5711 （A） （B） （C）?
2555 （D）?7 25【答案】D
7???3?π??2?π【解析】∵cos?????，sin2??cos??2???2cos?????1?，
25?4?5?2??4?故选D．
（10）从区间?0,1?随机抽取2n个数x1,x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对?x1,y1?，?x2,y2?，…，
?xn,yn?，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率? 的近似值为（ ）
（A）
4n2n4m2m （B） （C） （D） mmnn【答案】C
???，n?在如图所示方格中，而平方和小于1【解析】由题意得：?xi，yi??i?1，2，π4m的点均在如图所示的阴影中由几何概型概率计算公式知4?m，∴π?故选C．
n1n1x2y2（11）已知F1，F2是双曲线E：2?2?1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin?MF2F1? ,
3ab则E的离心率为（ ） （A）2 （B）【答案】A
22F1F2F1F2sinM【解析】离心率e?，由正弦定理得e???3?2．故选A．
MF2?MF1MF2?MF1sinF1?sinF21?133 （C）3 （D）2 2（12）已知函数f?x??x?R?满足f??x??2?f?x?，若函数y?mx?1与y?f?x?图像的交点 x为?x1，y1?，?x2，y2?，?，?xm，ym?，则??xi?yi??（ ）
i?1（A）0 【答案】B
（B）m （C）2m （D）4m
1?对称， 【解析】由f?x??2?f?x?得f?x?关于?0，而y?x?111?对称， ?1?也关于?0，xx∴对于每一组对称点xi?xi'?0 yi?yi'=2， ∴??xi?yi???xi??yi?0?2?i?1i?1i?1mmmm?m，故选B． 2
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~24题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
（13）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA?则b? ． 【答案】
21 1345，cosC?， 51345，cosC?，a?1， 513【解析】∵cosA?sinA?312，sinC?， 51363， 65sinB?sin?A?C??sinAcosC?cosAsinC?由正弦定理得：
ba21?解得b?． sinBsinA13（14）?，?是两个平面，m，n是两条线，有下列四个命题：
①如果m?n，m??，n∥?，那么???． ②如果m??，n∥?，那么m?n． ③如果a∥?，m??，那么m∥?．
④如果m∥n，?∥?，那么m与?所成的角和n与?所成的角相等． 【答案】②③④
（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 【答案】 (1,3)
【解析】由题意得：丙不拿（2，3），
若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足， 若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足， 故甲（1，3），
（16）若直线y?kx?b是曲线y?lnx?2的切线，也是曲线y?ln?x?1?的切线，b? ． 【答案】 1?ln2
【解析】y?lnx?2的切线为：y?1?x?lnx1?1（设切点横坐标为x1） x11x2x?ln?x2?1??y?ln?x?1?的切线为：y? x2?1x2?11?1??x?1x2?1 ∴?x?lnx?1?ln?x?1??212?x2?1?11解得x1? x2??
22∴b?lnx1?1?1?ln2．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
Sn为等差数列?an?的前n项和，且a1?1，S7?28．记bn??lgan?，其中?x?表示不超过x的最大整数，如
?0.9??0，?lg99??1．
（Ⅰ）求b1，b11，b101；
（Ⅱ）求数列?bn?的前1000项和．
【解析】⑴设?an?的公差为d，S7?7a4?28，
∴a4?4，∴d?a4?a1?1，∴an?a1?(n?1)d?n． 3∴b1??lga1???lg1??0，b11??lga11???lg11??1，b101??lga101???lg101??2． ⑵记?bn?的前n项和为Tn，则T1000?b1?b2?????b1000
??lga1???lga2???????lga1000?．
当0≤lgan?1时，n?1，2，???，9； 当1≤lgan?2时，n?10，11，???，99；
当2≤lgan?3时，n?100，101，???，999； 当lgan?3时，n?1000．
∴T1000?0?9?1?90?2?900?3?1?1893．
（18）（本小题满分12分）
某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5