高数C1 –期末试卷答案
一、单项选择题 1. D （解释：，） 2. A （解释：在
处连续，所以
必须存在，
也就是在
处有定义。）
3. B （解释：
，可以这样理解：
。）
4. C （解释：，见书P90。）
5. D （解释：就是，定积分是一个常数，
所以它的导数为0。）将其它选项改为正确答案：，
。
二、填空题 1. 解：由
的定义，
；在
处连续，是指：
，也就是： 2. 解：先回顾导数的定义
，在本题中：可以将看作，那么原极限可以变为：，再分别计算两部分的极限，其中，，所以答案为：
。
3. 解：要求法线方程，可以先计算曲线在
处的导数（也就是切线斜率），法
线的导数是切线斜率的负倒数。在点
出导数
，代入
，
得到
，所以法线的斜率为，利用点斜式方程可得法线方程为：。
4. 解：函数
，列别讨论的正负变化情况
（也就是讨论函数的递增递减区间） 0 0 递减 递增 极大值 递减 递增 所以极大值：。 5. 解：此题可先计算不定积分
计算定积分：
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三、求解下列各题 1. 解：
2. 解：
3. 解：
4. 解：
5. 解：先对原等式两侧求微分，得到：
整理后得到 再计算
即：，代入，并代入点得到： 6. 解：
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7. 解：可以令
，则，；
代换原式得到：
8. 解：第一步用凑微分的方法，就是
分部积分法
四、应用计算题
1. 解：设平均成本函数为 问题即为求的最小值，首先求的导数，找出使的点
，求得，根据题意排除负项。
并由可知：当
时，为最小
值。
边际成本函数为
，代入
，得到。
2. 解：此题需要列表讨论函数的一二阶导数，并计算渐进线。
首先计算：
， 用使上面两式等于0或者不成立的点分割区间： 我们可以看到是这样的点，因此有下表： 0 NaN 0 NaN 递减 拐点 递减 极小 递增 极大 递减 凸 凹 凹 渐进线： 1. 是垂直渐进线； 2. 由
可知 ，
是其水平渐进线；
3. 无斜渐进线。 3. 解：先计算，并作图
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曲线方程则为
上的点的切线斜率为，切线，此线过原点，也就是说：代入
能使等式成立，即：，变换为：，所以切线位于曲线的切点坐标为：。
红色区域为所围成的区域，求此区域绕轴旋转一周形成的旋转体体积。 回顾：绕轴旋转一周的旋转体体积公式为：
但此题中不能直接使用该公式，原因是红色区域的上边界（不含轴）不构成一个函数。而应考虑为是一个圆锥体（去其中由抛物线
在区间在区间上绕轴形成）体积减
上绕轴形成的旋转体体积，即：
五、证明题 证：构造函数且上连续，在使得
，由条件可知：，内可导，满足罗尔中值定理的使用条件，因此：必存，而通过计算我们知道：
所以：
，其中
，所以
.