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全国2011年4月自学考试复变函数与积分变换试题
课程代码：02199
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设复数z?1?cosA.-C.
???isin，则arg z=（ ） 33B.
? 3? 6?2? D. 332.w=z2将Z平面上的实轴映射为W平面的（ ） A.非负实轴 B.实轴 C.上半虚轴 D.虚轴 3.下列说法正确的是（ ） A.ln z 的定义域为 z>0 B.|sin z|≤1 C.ez≠0 D.z-3的定义域为全平面
sinz4.设C为正向圆周|z|=1，?ndz=2? i，则整数n为（ ）
CzA.-1 C.1
5.设C为正向圆周|z|=2，则?CB.0 D.2
zdz=（ ） z2A.-2?i C.2?i B.0 D.4?i
?sin?6d?，则f′(1)=（ ） 6.设C为正向圆周|?|=2，f(z)=?2C(??z)?3A.-i
36?23C.-i 6?3B.i 36?23D.i
67.设?anzn?0?n?bznn?0?n和?(an?bn)zn的收敛半径分别为R1，R2和R，则（ ）
n?0?
全国2011年4月自学考试复变函数与积分变换试题
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A.R=R1 B.R=min{R1,R2} C.R=R2
D.R≥min{R1,R2}
?罗朗级数?1?zn8.zn??n?1的收敛域为（ ）
n?0n?02A.|z|<1
B.|z|<2 C.1<|z|<2
D.|z|>2
??(?1)nz2n?19.已知sinz=，则Res?sinzn?0(2n?1)!???z4,0???（ ）
A.1 B.-
13! C.
13! D.15! 10.整数k≠0，则Res[cot kz, ?]=（ ） A.-1k B.0
C.
1k D.k 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.方程Re(z-2)=-1表示的曲线的直角坐标方程为___________. 12.函数f(z)=zRez的可导点为___________. 13.设C为正向圆周|z-1|=1，则
?ezdz=___________.
C14.设L为复平面上由点A=0到点B=1+i的直线段，则L?Rezdz=___________. 15.设C为正向圆周，z??2=1，则?cosz?5dz=___________.
C??z???2??z16.F(z)=?e?2d?在z=0处的泰勒展开式为___________.
0三、计算题（本大题共8小题，共52分） 17.（本题6分）求复数z=3?i3?i的三角表示式.
18.（本题6分）已知z2+z+1=0，求z11+z7+z3的值. 19.（本题6分）求f(z)=
1z2在z=2处的泰勒展开式，并指出其收敛域.
全国2011年4月自学考试复变函数与积分变换试题
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20.（本题6分）设f(z)=
1. 问：f(z)在哪几个以i为中心的圆环域（包括圆域）内
(z?1)(z?i)可展为罗朗级数？写出这几个圆环域（不要求写出展开式）. 21.（本题7分）解方程 sinz=2
22.（本题7分）若f(z)及f(z)都是复平面上的解析函数，且f(0)=5，求f(z) 23.（本题7分）设C为正向圆周|z|=2，求?Cdz
z2(z2?1)24.（本题7分）设C为正向圆周|z|=4，求?Cdz sinz四、综合题（下列3个小题中，第35题必做，第26、27题中只选做一题。每小题8分，共16分）
z2?z?125．（1）求f(z)=在圆域|z|<1内的所有奇点；
z(2z2?5z?2)（2）求f(z)在上述奇点处的留数；
2?（3）利用留数定理计算实积分I=?01?2cosxdx
5?4cosx26.设D为Z平面上由相交于z=?i的两圆弧围成的月牙形区域，两圆弧在z=i处的夹角为（如图）： （1）w1?i?4z?i将D映射为W1平面上的区域D1， z?i问D1是什么区域？
4（2）w=w1将D1映射为W平面上什么区域？
?z?i?（3）w=??将D映射为W平面上什么区域？
z?i??4
?y???y?sin2t27.利用拉氏变换求解初值问题 ?
?y(0)?0,y(0)?1?全国2010年7月自学考试复变函数与积分变换试题
课程代码：02199
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
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在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.argi3?i?( )
A.-ππ3 B.-3+2k?,(k=0,±1,±2) C.
π D.
π33+2k?,(k=0,±1,±2) 2.设D={z|0<|z+2i|2},则D为( ) A.有界单连通区域 B.有界多连通区域 C.无界单连通区域 D.无界多连通区域
3.ln(-4-3i)=( ) A.ln5+i(-π+arctg3B.ln5+i(π+arctg34) 4) C.ln5+i(-π+arctg
4) D.ln5+i(π+arctg
433) 4.设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),(z=x+iy,z0=x0+iy0)，则limf(z)?a?ib的充要条件是( z?z0A.(x,y)?lim(x0,y0)u(x,y)?a
B.(x,y)?lim(xv(x,y)?b 0,y0)C.(x,y)?lim(xu(x,y)?a或lim0,y0)(x,y)?(xx,y)?b 0,y0)v(D.
(x,y)?lim(xu(x,y)?a且
lim(xv(x,y)?b
0,y0)(x,y)?0,y0)5.
|z|?coszz?3idz=( ) ?2A.0 B.1 C.2π D.2πi
6.
|z?ez |?1zdz=( ) A.0 B.1 C.2π
D.2πi
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)
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7.幂级数
?2n?1?nzn2n的收敛半径是( )
A.2 C.4 8.Res[tgπz,A.-C.
2 π1]=( ) 2B.3 D.5
B.-D.
1 π1 π2 π9.分式线性映射ω=A.|ω|<1 C.|ω|>2
2将单位圆内部|z|<1映射成( ) zB.|ω|<2 D.|ω|>1 为( )
B.[?(??2)??(??2)] D.i[?(??2)??(??2)]
π2π210.函数f(t)=costsint的傅氏变换A.[?(??2)??(??2)] C.i[?(??2)??(??2)]
π2π2二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.方程z3-1=0根的三角表示式zk=________________.
12.若函数ω=f(z)________________，则称函数ω=f(z)在点z0处解析. 13.
2?i?0(3z?1)dz?________________.
14.z=0是函数??1zcoszz2(z2?4)的孤立奇点，且孤立奇点的类型是________________.
15.Res[z2sin,0]?________________.
16.将z=∞，i和0分别对应??0，i和∞的分式线性映射??________________. 三、计算题（本大题共8小题，共52分） 17.（本题6分）用cosθ与sinθ表示sin4θ. 18.（本题6分）已知z?0时u?x?yx?y22为调和函数，求解析函数f(z)=u+iv的导数f?(z)，
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