专题跟踪突破15 二次函数与几何图形综合题
1．(导学号：01262182)(2016·烟台)如图，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为(2，6)，点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(2，2)，点F(m，6)是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E.
(1)求抛物线的表达式；
(2)设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
解：(1)∵过B，C，D三点的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(2，2)，∴点C的横坐标为4，BC＝4，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC＝4，∵A(2，6)，∴D(6，6)，设抛物线解析式为y＝a(x－2)2＋2，∵点D在此抛物线上，∴6＝a(6－2)2＋2，∴a＝11122，∴抛物线解析式为y＝(x－2)＋2＝444x－x＋3
(2)∵AD∥BC∥x轴，且AD，BC间的距离为3，BC，x轴的距mm11离也为3，F(m，6)∴E(2，3)，∴BE＝2，∴S＝2(AF＋BE)33＝2(m
m9
－2＋2)33＝4m－3，∵点F(m，6)在线段AD上，∴2≤m≤6，即S9
＝4m－3(2≤m≤6)
7
2．(导学号：01262183)(2016·新疆)如图，对称轴为直线x＝2的抛物线经过点A(6，0)和B(0，－4)．
(1)求抛物线解析式及顶点坐标；
(2)设点E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式；
(3)当(2)中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形．
解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，将A，B点的坐标代入函数解析式，得
????214解得 抛物线的解析式为y＝－?36a＋6b＋c＝0，?b＝3，3x???c＝－4，
?c＝－4，
b7－2a＝2，
142725725＋3x－4，配方得y＝－3(x－2)2＋6，顶点坐标为(2，6)
2a＝－3，2
2141214
(2)E点坐标为(x，－3x2＋3x－4)，S＝232OA2yE＝6(－3x2＋3x－4)，即S＝－4x2＋28x－24
(3)平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可能为菱形，理由如下：当平行四边形OEAF的面积为24时，即－4x2＋28x－24＝24，化简，得x2－7x＋12＝0，解得x＝3或4，当x＝3时，EO＝EA，平行四边形OEAF为菱形．当x＝4时，EO≠EA，平行四边形OEAF不为菱形．∴平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可能为菱形
3．(导学号：01262079)(2016·哈尔滨)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋2ax＋c经过A(－4，0)，B(0，4)两点，与x轴交于另一点C，直线y＝x＋5与x轴交于点D，与y轴交于点E.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是第二象限抛物线上的一个动点，连接EP，过点E作EP的垂线l，在l上截取线段EF，使EF＝EP，且点F在第一象限，过点F作FM⊥x轴于点M，设点P的横坐标为t，线段FM的长度为d，求d与t之间的函数关系式；(不要求写出自变量t的取值范围)
(3)在(2)的条件下，过点E作EH⊥ED交MF的延长线于点H，
连接DH，点G为DH的中点，当直线PG经过AC的中点Q时，求点F的坐标．
解：(1)把A(－4，0)，B(0，4)代入y＝ax2＋2ax＋c得
?a＝－，??16a－8a＋c＝0，12
2?解得?所以抛物线解析式为y＝－2x－x
?c＝4，??c＝4，
＋4
1
(2)如图①，分别过P，F向y轴作垂线，垂足分别为A′，B′，过P作PN⊥x轴，垂足为N，直线DE的解析式为y＝x＋5，则E(0，5)，∴OE＝5，∵∠PEO＋∠OEF＝90°，∠PEO＋∠EPA′＝90°，∴∠EPA′＝∠OEF，∵PE＝EF，∠EA′P＝∠EB′F＝90°，∴△PEA′≌△EFB′，∴PA′＝EB′＝－t，则d＝FM＝OB′＝OE－EB′＝5－(－t)＝5＋t
(3)如图②，由直线DE的解析式为y＝x＋5，∵EH⊥ED，∴直121
线EH的解析式为y＝－x＋5，∴FB′＝A′E＝5－(－2t－t＋4)＝21212
t＋t＋1，∴F(2t＋t＋1，5＋t)，∴点H的横坐标为2t＋t＋1，y＝－
2
12121212t－t－1＋5＝－t－t＋4，∴H(t＋t＋1，－2222t－t＋4)，∵G是DH
1
－5＋2t2＋t＋1
2
1
－2t2－t＋4
2
12112
)，∴G(4t＋2t－2，－4t
的中点，∴G(，
－1＋t1211
－2t＋2)，∴PH∥x轴，∵DG＝GH，∴PG＝GQ，∴2＝4t＋2t－2，t＝±6，∵P在第二象限，∴t＜0，∴t＝－6，∴F(4－6，5－6)