4．(导学号：01262080)(2016·包头)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－2(a≠0)与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为(0，－1)，该抛物线与BE交于另一点F，连接BC.
(1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y＝a(x－h)2
＋k的形式；
(2)若点H(1，y)在BC上，连接FH，求△FHB的面积； (3)一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿平行于y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒(t＞0)，在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB＝90°？
(4)在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－2(a≠0)与x轴交于A(1，0)，B(3，2?a＝－，??a＋b－2＝0，3?22
?0)两点，∴∴?∴抛物线解析式为y＝－3x8?9a＋3b－2＝0，???b＝3，
824＋3x－2＝－3(x－2)2＋3
(2)如图①， 过点A作AH∥y轴交BC于点H，交BE于点G，2
由(1)得C(0，－2)，∵B(3，0)，∴直线BC解析式为y＝3x－2，∵44
H(1，y)在直线BC上，∴y＝－3，∴H(1，－3)，∵B(3，0)，E(0，122
－1)，∴直线BE解析式为y＝3x－1，∴G(1，－3)，∴GH＝3，∵128
直线BE∶y＝3x－1与抛物线y＝－3x2＋3x－2相交于点F和点B，15111
∴F(2，－6)，∴S△FHB＝2GH2|xG－xF|＋2GH2|xB－xG|＝2GH2|xB1215
－xF|＝2333(3－2)＝6
228
(3)如图②， 由(1)有y＝－3x＋3x－2，∵D为抛物线的顶点，2
∴D(2，3)，∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿平行
2
于y轴方向向上运动，∴设M(2，m)，(m＞3)，∴OM2＝m2＋4，BM2＝m2＋1，OB2＝9，∵∠OMB＝90°，∴OM2＋BM2＝OB2，∴m2＋4＋m2＋1＝9，∴m＝2或m＝－2(舍)，∴M(0，2)，∴MD＝2－2
∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿平行于y轴方3，2
向向上运动，∴t＝2－3时，∠OMB＝90°
(4)存在点P，使∠PBF被BA平分，如图③， ∴∠PBO＝∠EBO，∵E(0，－1)，∴在y轴上取一点N(0，1)，∵B(3，0)，∴直线BN的1228
解析式为y＝－3x＋1①，∵点P在抛物线y＝－3x＋3x－2②上，联3??x＝2，??x＝3，31
立①②得，?或?(舍)∴P(2，2)，即在x轴上方的抛物线
1??y＝0，?y＝?231
上，存在点P(2，2)，使得∠PBF被BA平分
5．(导学号：01262081)(2016·内江)已知抛物线C：y＝x2－3x＋m，直线l：y＝kx(k＞0)，当k＝1时，抛物线C与直线l只有一个公共点．
(1)求m的值；
(2)若直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l与直线l1：112
y＝－3x＋b交于点P，且OA＋OB＝OP，求b的值；
(3)在(2)的条件下，设直线l1与y轴交于点Q，问：是否在实数k使S△APQ＝S△BPQ？若存在，求k的值，若不存在，说明理由．
解：(1)当k＝1时，抛物线C与直线l只有一个公共点，直线l解析式为y＝x，
2
??y＝x－3x＋m，∵? ??y＝x，
∴x2－4x＋m＝0，∴Δ＝16－4m＝0，∴m＝4
(2)如图， 分别过点A，P，B作y轴的垂线，垂足依次为C，D，OPPDOPPD112E，则△OAC∽△OPD，∴OA＝AC.同理，BO＝BE.∵OA＋OB＝OP，AC＋BEOPOPPDPD1122∴OA＋OB＝2，∴AC＋BE＝2，∴AC＋BE＝PD，即＝.AC2BEPD，
??y＝kx，bkbb?解方程组得x＝，y＝，即PD＝.由方程
k＋3k＋3k＋3?y＝－3x＋b，???y＝kx，
组?消去y，得x2－(k＋3)x＋4＝0.∵AC，BE是此一2
??y＝x－3x＋4，
k＋3元二次方程的两根，∴AC＋BE＝k＋3，AC2BE＝4，∴4＝2（k＋3）
，解得b＝8 b
(3)不存在．理由如下：假设存在，当S△APQ＝S△BPQ时，有AP＝PB，于是PD－AC＝BE－PD，即AC＋BE＝2PD.由(2)可知AC＋BE88
＝k＋3，PD＝，∴k＋3＝23，即(k＋3)2＝16.解得k＝1(舍
k＋3k＋3去k＝－7)．当k＝1时，A，B两点重合，△BQA不存在．∴不存在实数k使S△APQ＝S△BPQ
6．(导学号：01262082)(2016·南宁)如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线y＝x－2交于B，C两点．
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标； (2)求证：△ABC是直角三角形；
(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．