北京市2012年中考数学二模代数几何综合题分类汇编
整理 北京市二十中学 王云松2012-6-7
代几综合题，往往是在二次函数背景下的对动点、动直线的位置及数量关系以及常见几何图形的存在性的研究，对学生的思维水平提出了更高的要求，要求学生具有较强的运算能力、作图能力、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等综合能力。其掌握程度的高低直接决定学生能否达优。
【海淀】24. 如图, 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?22x?2x与x轴负半轴交于点A, 顶m点为B, 且对称轴与x轴交于点C.
（1）求点B的坐标 (用含m的代数式表示)；
（2）D为BO中点，直线AD交y轴于E，若点E的坐标为(0, 2), 求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，点M在直线BO上，且使得△AMC的周长最小，P在抛物线上，
Q在直线 BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐 标.
y y
B B
A x O C A x O C
备用图
22121211【参考答案】24.解：（1）∵y?x2?2x?(x2?mx?m2)??m2?(x?m)2?m，
mm4m4m22 ∴抛物线的顶点B的坐标为(m,?m). ???????????1分
121222x?2x?0，解得x1?0, x2?m. m2 ∵ 抛物线y?x2?2x与x轴负半轴交于点A，
m ∴ A (m, 0), 且m<0. ???????????????????2分
y 过点D作DF?x轴于F.
1由 D为BO中点，DF//BC, 可得CF=FO=CO. B2（2）令
DE
ACFOx
1
∴ DF =BC.
2
由抛物线的对称性得 AC = OC. ∴ AF : AO=3 : 4. ∵ DF //EO, ∴ △AFD∽△AOE. ∴
FDAF?. OEAO 由E (0, 2)，B(m,?m)，得OE=2, DF=?m.
1?m3∴4?.
24121214 ∴ m = -6.
1∴ 抛物线的解析式为y??x2?2x. ???????????????3分
3（3）依题意，得A（-6,0）、B (-3, 3)、C (-3, 0).可得直线OB的解析式为y??x,
直线BC为x??3. 作点C关于直线BO的对称点C ?(0，3)，连接AC ?交BO 于M，则M即为所求. 由A（-6，0），C? (0, 3)，可得 直线AC?的解析式为y?BMyC'1x?3. 2ACOx1??x??2,?y?x?3,由? 解得? 2y?2.???y??x∴ 点M的坐标为(-2, 2). ?????4分
y11由点P在抛物线y??x2?2x上，设P (t，?t2?2t). 33 (ⅰ)当AM为所求平行四边形的一边时. ?如右图，过M作MG? x轴于G, 过P1作P1H? BC于H, 则xG= xM =-2, xH= xB =-3.
由四边形AM P1Q1为平行四边形， 可证△AMG≌△P1Q1H . 可得P1H= AG=4. ∴ t -(-3)=4. ∴ t=1.
BMC'ACGOxHP1Q1y7∴P(1,?). ????????5分 13?如右图，同?方法可得 P2H=AG=4. ∴ -3- t =4. ∴ t=-7.
ACBMC'Q2HGOxP2
∴P2(?7,?). ????????6分 (ⅱ)当AM为所求平行四边形的对角线时, 如右图，过M作MH?BC于H, 过P3作P3G? x轴于G, 则xH= xB =-3，xG=xP3=t. 由四边形AP3MQ3为平行四边形， 可证△A P3G≌△MQ3H . 可得AG= MH =1. ∴ t -(-6)=1. ∴ t=-5. ∴P3(?5,AP3HQ3y73BMC'GCOx5). ????????????????????7分 3综上，点P的坐标为P1(1,?)、P3(?5,2(?7,?)、P
73735). 3[注]在确定平行四边形时，如果知一边的两点坐标，可以用平移的方法，得到其对边的点的
坐标，可使解答简捷。
【西城】25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y1?2x2?1的顶点为M，直线y2?x，点41P?n，0?为x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线分别交抛物线y1?2x2?和直线
4y2?x于点A，点B.
⑴直接写出A，B两点的坐标（用含n的代数式表示）；
⑵设线段AB的长为d，求d关于n的函数关系式及d的最小值，并直接写出此时线段OB与线段PM的位置关系和数量关系；
(3)已知二次函数y?ax2?bx?c（a，b，c为整数且a?0），对一切实数x恒有
1x≤y≤2x2?，求a，b，c的值.
4
1n). ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍【参考答案】25．解：(1)A(n，2n2?)，B(n，4﹍﹍﹍﹍2分
1(2) d=AB=yA?yB=2n2?n?.
4y1111 ∴ d=2(n?)2?=2(n?)2?.﹍﹍3分
48481AM ∴ 当n?11时，d取得最小值. ﹍﹍ 4分 48BOP11x 图10
当d取最小值时，线段OB与线段PM的位置 关系和数量关系是OB⊥PM且OB=PM. (如图10)
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 5分
(3) ∵ 对一切实数x恒有 x≤y≤2x2?1， 41都成立. (a?0) ① 4 ∴ 对一切实数x，x≤ax2?bx?c≤2x2? 当x?0时，①式化为 0≤c≤
1. 41都成立.(a?0) 4 ∴ 整数c的值为0. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 6分
此时，对一切实数x，x≤ax2?bx≤2x2?② ?x?ax2?bx,? 即 ?2 对一切实数x均成立. 1 ③2?ax?bx?2x?.4? 由②得 ax2??b?1?x≥0 (a?0) 对一切实数x均成立.
??a?0, ∴ ?2??b?1?0.????1④
⑤
由⑤得整数b的值为1. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍7分
此时由③式得，ax2?x≤2x2?即(2?a)x2?x?1对一切实数x均成立. (a?0) 41≥0对一切实数x均成立. (a?0) 41当a=2时，此不等式化为?x?≥0，不满足对一切实数x均成立.
41当a≠2时，∵ (2?a)x2?x?≥0对一切实数x均成立，(a?0)
4?2?a?0,? ∴ ? 12?2?(?1)?4?(2?a)??0.?4? ∴ 由④，⑥，⑦得 0
∴ 整数a的值为1. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍8分
∴ 整数a，b，c的值分别为a?1，b?1，c?0.
[注]本题在确定待定系数的值时，反复运用了抛物线与x轴没有交点时，判别式小于0，体现解一元二次不等式的数形结合思想。
【东城】25．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y?ax+2ax?c的图像与y2⑥ ⑦
轴交于点C(0,3)，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(-3,0) （1） 求二次函数的解析式及顶点D的坐标；
（2） 点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为
1:2的两部分，求出此时点M的坐标；
（3） 点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△CPB的面积最大？
最大面积是多少？并求出 此时点P的坐标.
【参考答案】
25．解：（1）由题意，得：?
?c?3,…
?9a-6a?c?0. 解得：??a?-1,
c?3.?2所以，所求二次函数的解析式为：y?-x-2x?3……2分 顶点D的坐标为（-1，4）.……3分 （2）易求四边形ACDB的面积为9. 可得直线BD的解析式为y=2x+6
设直线OM与直线BD 交于点E，则△OBE的面积可以为3或6. ① 当S?OBE=?9=3时，
yDMEBOAC13 易得E点坐标（-2，-2），直线OE的解析式为y=-x. 设M 点坐标（x，-x），
-x?-x-2x?3.-1-13-1?13
x1?（舍），x2?.22
2x