S ABPC?S?AAOC?S?OCP?S?OBP[注]第（3）问也可连OP，将四边形ABPC分割为
。 111?AO?OC?OC?xP?OB?PF222【顺义】25．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y?12x?bx?c的2图象经过点A（-3，6），并与x轴交于点B（-1，0）和点C，顶点为P． （1）求二次函数的解析式；
（2）设D为线段OC上的一点，若?DPC??BAC，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，若点M在抛物线y?12x?bx?c上，点N在y2轴上，要使以M、N、B、D为顶点的四边形是平行四边形，这样的点M、N是否存在，若存在，求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，说明理由．
【参考答案】25．解：（1）将点A（-3，6），B（-1，0）代入y?中，得
12x?bx?c2?9?3b?c?6,??2 解得 ?1??b?c?0.??2∴二次函数的解析式为y?（2）令y?0，得
?b??1,??3 c??.??2123x?x?．??????????? 2分 22123x?x??0，解得 x1??1，x2?3． 22∴点C的坐标为（3，0）． ∵y?1231x?x??(x?1)2?2， 222∴顶点P的坐标为（1，-2）．????????????????? 3分
过点A作AE⊥x轴，过点P作PF⊥x轴，垂足分别为E，F． 易得 ?ACB??PCD?45?．
AC?AE2?CE2?62，PC?PF2?CF2?22．
又?DPC??BAC，
∴△ACB∽△PCD．???????? 4分 ∴
BCAC?． CDPC∵BC?3?(?1)?4，
BC?PC4?． AC345∴OD?OC?CD?3??．
33∴CD?
∴点D的坐标为(,0)．?????????????????? 5分
（3）当BD为一边时，由于BD?538， 3885811∴点M的坐标为(?,)或(,?)． ?????????? 7分
318318235当BD为对角线时，点M的坐标为(,?)． ???????? 8分
318
[注]第（2）问利用构造相似三角形得角等；（3）平移法构造平行四边形，及利用中点坐标公式。
【平谷】25．如图，抛物线y?ax2?bx?4?a?0?与x轴交于点A(－2，0)和B(4，0)、
与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)T是抛物线对称轴上的一点，且△ACT是 以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标； (3)点M、Q分别从点A、B以每秒1个单位 长度的速度沿x轴同时出发相向而行．当点M
3
到达原点时，点Q立刻掉头并以每秒2个单位
y C T A O B x 长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物 线的对称轴时，两点停止运动．过点M的直线 l⊥x轴，交AC或BC于点P．求点M的运动时 间t(秒)与△APQ的面积S的函数关系式．
【参考答案】25．解：（1）∵抛物线过点A(－2，0)和B(4，0)
1??4a?2b?4?0?a??∴ ? 解得? 2?16a?4b?4?0??b?112∴ 抛物线的解析式为y??x?x?4…………1分
2（2）抛物线的对称轴为x?1
令x=0，得y=4，∴C?0，4?
设T点的坐标为?1,h?，对称轴交x轴于点D，过C作CE⊥TD于点E 在Rt△ATD中， ∵TD=h，AD=3
2222∴AT?AD?TD?9?h………………………………………………………………2分
在Rt△CET中， ∵E?1,4?
∴ET=4?h，CE=1
∴CT2?TE2?CE2??4?h??1
2∵AT=CT
∴?4?h??1?9?h2，………………………3分
2解得h?1.
∴T?1,1?. ...............….………………………………………………………………………4分 （3）当0?t?2时，AM=BQ=t， ∴AQ=6?t ∵PM⊥AQ
∴△APM∽△ACO ∴
AMPM? AOCO∴PM=2t
1AQ?PM??t2?6t………………6分 2当2?t?3时，AM=t
∴BM=6?t.由OC=OB=4，可证BM=PM=6?t.
33∵BQ=2?(t?2)?5?t
22∴S?∴AQ=6??5???3?3t??1?t 2?2∴S?11?3?3AQ?PM??1?t???6?t???t2?4t?3．……………………………..8分 22?2?4?S??t2?6t?0?t?2??综上所述，? 32S??t?4t?3(2?t?3)?4?
[注]第（3）问关键是能够正确地表示出各条线段的长，并能利用分类讨论思想。
【房山】25．如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每
秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P．已
知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）． ⑴求c、b（可以用含t的代数式表示）；
⑵当t>1时，抛物线与线段AB交于点M．在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值； ⑶在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好
点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围． ．．
【参考答案】25．解：解：⑴把x=0，y=0代入y=x+bx+c，得c=0，------------------------1
2
分
再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0， ∵t＞0，
∴b=-t；-----------------------------------------------3分 ⑵不变．
当x=1时，y=1-t，故M（1，1-t）， ∵tan∠AMP=1，
∴∠AMP=45°-----------------------------------------------5分 ⑶
711＜t＜．-----------------------------------------------7分 23[注]第（3）问当抛物线经过好点（3，-2）时，可得t=11/3,当抛物线经过（2，-3）时，可得t=7/2,故t介于两者之间。