数学二历年考研试题
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析
一、选择题:1?8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要
求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 下列反常积分收敛的是 ( ) (A)
???1lnx2xdx (B) ??? (C)
12xdx???2xlnxdx(D)
???x2exdx 【答案】(D) 【解析】?x?xexdx??(x?1)e，则???x??2exdx??(x?1)e?x2?3e?2?lim(x?1)e?x?3e?2x???.
2?sintx(2) 函数fx??lim(1t?0?x)t 在(??,??)内( )
(A) 连续 (B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点 【答案】(B)
sintx2sint2【解析】f(x)?lim(1t?0?x)t?elimxt?0xt?ex，x?0，故f(x)有可去间断点x?0. ?(3) 设函数f?x???x?cos1?x?,x?0(??0,??0),若f'??x?在x?0处连续则:( ) ?0,x?0(A)????0 (B)0?????1 (C)????2 (D)0?????2 【答案】(A)
【解析】x?0时，f??x??0f???0??0
x?cos1f???0??x??0??11xlim?0?x?limx?0?xcosx? 1
数学二历年考研试题
x?0时，f??x???x??1cos111???1xsin?? ????x?x?x??1??x??1cos11????1??xsin?? xx1?0得??1?0 x???=0 ?x??1cosf??x?在x?0处连续则：f???0??f???0??lim?x?011???1????1?f??0??limfx=lim?xcos??xsin???x?0+x?0+?x?x?得：????1?0，答案选择A
(4)设函数f(x)在???,???内连续，其中二阶导数f??(x)的图形如图所示，则曲线y?f(x)的
拐点的个数为( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C)
【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数
个.
(5) 设函数f?u,v?满足f?x?y,??x2?y2 ，则
x??为2
?y??f?u(A)
u?1与v?1?f?vu?1v?1 依次是 ( )
1111,0 (B) 0, (C) ?,0 (D) 0,?
2222【答案】(D)
【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解. 令u?x?y,v?yuuvy22,y?，则x?，从而f(x?y,)?x?y变为
x1?v1?vx222?f2u(1?v)?f2u2?u??uv?u(1?v)?,??.故， f(u,v)???????2?u1?v?v(1?v)1?v?1?v??1?v? 2
数学二历年考研试题
因而
?f?uu?1?0,v?1?f?v1.故选（D）. ??u?12v?1(6)设D是第一象限由曲线2xy?1，4xy?1与直线y?x，y?3x围成的平面区域，函数
f?x,y?在D上连续，则??f?x,y?dxdy? ( )
D?(A)
???d??341sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??rdr
(B)
??34d???31sin2?12sin2?1sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??rdr f?rcos?,rsin??dr
(C)
??d??4?(D)
??d??341sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??dr
【答案】(B)
【解析】根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为
???11D??(r,?)???,?r?432sin2?sin2??所以
??? ???f(x,y)dxdy???d??3D41sin2?12sin2?f(rcos?,rsin?)rdr
故选B.
?1??111?????(7) 设矩阵A??12a?,b??d?.若集合???1,2?，则线性方程组Ax?b有无穷多解的充
???14a2??d2?????分必要条件为 ( )
(A) a??,d?? (B) a??,d??
3
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(C) a??,d?? (D) a??,d?? 【答案】(D)
?111?【解析】(A,b)??12a?14a2?1??1111????d???01a?1d?1?2??d??00(a?1)(a?2)(d?1)(d?2)??，
由r(A)?r(A,b)?3，故a?1或a?2，同时d?1或d?2.故选（D）
222(8) 设二次型f?x1,x2,x3?在正交变换x?Py下的标准形为2y1，其中?y2?y3P?(e1,e2,e3)，若Q?(e1,?e3,e2)则f?(x1,x2,x3)在正交变换x?Qy下的标准形为
( )
222222(A)2y1 (B) 2y1 ?y2?y3?y2?y3222222(C) 2y1 (D) 2y1?y2?y3?y2?y3
【答案】(A)
222【解析】由x?Py，故f?xTAx?yT(PTAP)y?2y1. ?y2?y3?200???T且PAP??010?.
?00?1????100???由已知可得Q?P?001??PC
?0?10????200???TTT故QAQ?C(PAP)C??0?10?
?001???222所以f?xTAx?yT(QTAQ)y?2y1.选（A） ?y2?y3二、填空题：9?14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．
?x?arctantd2y (9) ? 则 23dxy?3t?t?
t?1? 4
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【答案】48
dy2dy3?3t【解析】 ?dt??3(1?t2)2
dx1dxdt1?t2d[3(1?t2)2]2d2yd12t(1?t)22dt?[3(1?t)]???12t(1?t2)2 2dx1dxdxdt1?t2d2y?48. dx2t?1 (10)函数f(x)?x2?2x在x?0处的n阶导数fn(0)?_________ 【答案】n?n?1??ln2?n?2
【解析】根据莱布尼茨公式得：
f?n??0??C2n2?2x(n?2)x?0??n(n?1)n?2n?22?ln2??n(n?1)?ln2? 2x20(11) 设f?x?连续，??x??【答案】2
【解析】 已知?(x)?x?x20?xf?t?dt，若??1??1,???1??5，则f?1??
x21f(t)dt，求导得??(x)??f(t)dt?2x2f(x2)，故有?(1)??f(t)dt?1,
00??(1)?1?2f(1)?5,则f(1)?2.
''' (12)设函数y?y?x?是微分方程y?y?2y?0的解，且在x?0处yx取得极值3，则
??y?x?= .
【答案】e?2x?2ex
2【解析】由题意知：y?0??3，y??0??0，由特征方程：????2?0解得?1?1,?2??2
所以微分方程的通解为：y?C1ex?C2e?2x代入y?0??3，y??0??0解得：C1?2C2?1 解得：y?2e?ex?2x
x?2y?3z(13)若函数Z?z?x,y?由方程e?xyz?1确定，则dz?0,0?= . 5