数学二历年考研试题
【答案】?1?dx?2dy? 3?z??yz?ex?2y?3z ?xx?2y?3z?xy)【解析】当x?0,y?0时z?0，则对该式两边求偏导可得(3e(3ex?2y?3z?xy)?z??xz?2ex?2y?3z.将（0,0,0）点值代入即有 ?y?z1?z2??,??.
?x(0,0)3?y(0,0)3则可得dz|(0,0)??dx?1321dy???dx?2dy?. 33(14) 若3阶矩阵A的特征值为2,?2,1，B?A2?A?E，其中E为3阶单位阵，则行列式
B? .
【答案】21
【解析】A的所有特征值为2,?2,1.B的所有特征值为3,7,1. 所以|B|?3?7?1?21.
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明．．．
过程或演算步骤. (15) (本题满分10分）
3设函数f(x)?x?aln(1?x)?bxsinx，g(x)?kx.若f(x)与g(x)在x?0时是等价无穷小，
求a,b,k的值.
【答案】a??1,k??,b??【解析】 方法一：
131 2x2x3x33??o(x)，sinx?x??o(x3)， 因为ln(1?x)?x?233!那么，
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数学二历年考研试题
1?limf(x)(1?a)x?(b?a)x2?ax3?o(x3)x?0g(x)?limx?aln(1?x)?bxsinx23x?0kx3?limx?0kx3， ????1?a?0?a??1可得：???b?a?0，所以，?1?2?b??．
??2?a?3k?1???k??13方法二： 由题意得
1?a1?x?bsinx?bxcosx1?limf(x)x?aln(1?x)?bxx?0g(x)?limsinxx?0kx3?limx?03kx2
由分母lim3kx2x?0?0，得分子limx?0(1?a1?x?bsinx?bxcosx)?limx?0(1?a)?0，求得c；于是1?limf(x)1?11?x?bsinx?bxcosxx?0g(x)?limx?03kx2
?limx?b(1?x)sinx?bx(1?x)cosxx?03kx（21?x） ?limx?b(1?x)sinx?bx(1?x)cosxx?03kx2
?lim1?bsinx?b(1?x)cosx?b(1?x)cosx?bxcosx?bx(1?x)sinxx?06kx
由分母limx?06kx?0，得分子
limx?0[1?bsinx?2b(1?x)cosx?bxcosx?bx(1?x)sinx]?limx?0(1?2bcosx)?0，
求得b??12； 进一步，b值代入原式
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数学二历年考研试题
1111?sinx?(1?x)cosx?xcosx?x(1?x)sinxf(x)222 1?lim?limx?0g(x)x?06kx111111?cosx?cosx?(1?x)sinx?cosx?xsinx?(1?x)sinx?xsinx?x(1?x)cosx22222?lim2x?06k1?1?2，求得k??.
36k (16) (本题满分10分)
设A>0，D是由曲线段y?Asinx(0?x??2)及直线y?0，x??2所围成的平面区域，V1，V2分别表示D绕x轴与绕y轴旋转成旋转体的体积，若V1?V2，求A的值. 【答案】
8 ?【解析】由旋转体的体积公式，得
???2 V1? V2??20?f(x)dx???(Asinx)dx??A2022?201?cos2x?2A2dx?
42???202?xf(x)dx?-2?A?2xdcosx?2?A
0 由题V1?V2,求得A?(17) (本题满分11分)
8?.
2已知函数f(x,y)满足fxy\(x,y)?2(y?1)ex，fx(x,0)?(x?1)e，f(0,y)?y?2y，求
'xf(x,y)的极值.
【答案】极小值f(0,?1)??1
??(x,y)?2(y?1)e两边对y积分，得 【解析】fxy fx?(x,y)?2(
x12y?y)ex??(x)?(y2?2y)ex??(x)， 28
数学二历年考研试题
故fx?(x,0)??(x)?(x?1)ex， 求得?(x)?ex(x?1)，
故fx?(x,y)?(y2?2y)ex?ex(1?x)，两边关于x积分，得
f(x,y)?(y2?2y)ex??ex(1?x)dx
?(y2?2y)ex??(1?x)dex ?(y2?2y)ex?(1?x)ex??exdx ?(y2?2y)ex?(1?x)ex?ex?C ?(y2?2y)ex?xex?C
由f(0,y)?y2?2y?C?y2?2y，求得C?0.
所以f(x,y)?(y2?2y)ex?xex.
令???f2?2y)ex?ex?xexx??(y?0?x?0??f，求得?y??1. y??(2y?2)ex?0?又fxx???(y2?2y)ex?2ex?xex， fxxxy???2(y?1)e，fyy???2e， 当x?0,y??1时，A?fxx??(0,?1)?1,B?fxy??(0,?1)?0,C?fyy??(0,?1)?2，AC?B2?0,f(0,?1)??1为极小值.
(18) (本题满分10分) 计算二重积分
??x(x?y)dxdy，其中D??(x,y)x2?y2?2,y?x2?D
【答案】?4?25 【解析】
??x(x?y)dxdy???x2dxdy DD
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数学二历年考研试题
?2?12?x20dx?x2x2dy
?2?10x2(2?x2?x2)dx
?2?12x2dx?2x?2sint?0x2?25?2?402sin2t2cos2tdt?5
??2?4sin22tdt?2u?05?2t??22?20sin2udu?5?4?5.
(19)(本题满分 11 分) 已知函数f?x???12X2x1?tdt??11?tdt，求f?x?零点的个数？
【答案】2个
【解析】f?(x)??1?x2?2x1?x2?1?x2(2x?1) 令f?(x)?0,得驻点为x?12, 在(??,12),f(x)单调递减,在(12,??),f(x)单调递增 故f(12)为唯一的极小值,也是最小值.
而f(12)??112??41?tdt??12111?tdt11?tdt?212?11?tdt
4111 ??211?tdt??td?121?td
2?112?4在(12,1),1?t2?1?t,故?12111?tdt??11?tdt?0
22从而有f(12)?0
12x2xlim???f(x)?xlim[????x1?tdt??11?tdt]??? f(x)?lim[?11?t2x???xdt??x211?tdt]?x2xlim???xlim[????11?tdt??x11?t2dt] 10