综 合 实 验
班级：09级数学一班 姓名：王艳 学号：200971010140
一、实验目的
1．了解Mathematic软件并运用。通过用Mathematic软件更加深刻地理解、熟悉高等代数中的知识，学会用Mathematic来处理一些数学上繁琐的问题来帮助自己更好地理解和掌握
2．利用数学软件Mathematic绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲面图形的特点，以加强几何的直观性。
3．通过mathematic软件作出的函数图形，观察泰勒公式展开的误差。 4．运用Mathematic软件解决一些实际问题，避开了一些难与计算的问题，将一些问题容易化，能够直接明了地获取一些信息，从而使自己对于一些知识的了解更进一步、更加清晰。
5．用Mathematic显示级数部分和的变化趋势；展示Fourier级数对周期函数的逼近情况;学会如何利用幂级数的部分和对函数进行逼近以及函数值的近似计算。
6．利用数学软件Mathematic探讨素数的规律及其相关的某些有趣问题，通过本实验，一方面复习和巩固以前所学的知识，另一方面，开阔了思路，增加数学素养，提高上机时间操作能力，激发自己对数论的好奇心，同时可以增强自己多动手实验能力。
7．以迭代的观点介绍分形的基本特性以及生成分形图形的基本方法，使学生在欣赏美丽的分形图案的同时对分形几何这门学科有一个直观的了解，激发读者探索科学真理的兴趣，进一步熟悉Mathematic软件的使用，复习Mathematic在数学作图中的应用
二、实验环境
Mathematica4.0环境，公式编辑器
三、实验理论和方法
1．公式 f(x)?cosx
2．空间曲面的绘制
?x?x(u,v)?做参数方程?y?y(u,v),u?[umin,umax],v?[vmin,vmax]所确定的曲面图形的
?z?z(u,v)?Mathematic命令为：
ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,umin,umax},{v,vmin,vmax}，选项]；
3．设f?x?是以2T为周期的周期函数，在任一周期内，f(x)除在有限个第一类
间断点外都连续，并且只有有限个极值点，则f(x)可以展开为Fourier级数：
a0??n?xn?x? ???ancos?bnsin?
2n?1?TT?1Tn?x?a?f(x)cosdx,n?0,1,...?nT??TT其中?，且Fourier级数在任一x0处收敛
1Tn?x?bn??f(x)sindx,n?1,2,...?TTT?于
f(x0?0)?f(x0?0)
24.素数的定义
如果一个大于1的自然树只能被1及它本身整除，则该数被称为素数，否则被称为合数。 5.算术基本定理
每一个合数都可以分解为若干个素数地乘积，并且在不计较素数排列顺序时，这种分解是唯一的，这就是所谓的算术基本定理。该定理表明，素数是构造自然数的基石。
6.素数到底有多少个？会不会在某一充分大的自然数后就没有素数呢？答案是否定的。欧几里得时代已证明了这一结论。他使用了简洁而优美的论证方法至今仍不失为数学推理的光辉典范。假设素数只有有限个，按从小到大的顺序排列为
p1,p2,...,pn.令N?p1p2...pn?1，则N不被pi,i?1,2,...,n中任何一个整除。因而，N要么是一个素数，要么有pn比大的素因子，这与pn为最大素数相矛盾。
四、实验内容和步骤
实验内容：
实验1. 已知函数f(x)=1/(x^2+2x+c) (-5<=x<=4),作出并比较当c分别取-1，0，1，
2，3时的图形，并从图上观察极值点、驻点、单调区间、凹凸区间以及
渐近线；
实验2. 通过实验观察f(x)=cos x的泰勒公式与函数的逼近程度； 实验 3. 利用参数方程作图，做出由下列曲面所围成的立体图形： （1）z?1?x2?y2,x2?y2?x及xoy平面， （2）x?y?1?0及；
实验4. 一种合金在某种添加剂的不同浓度下进行试验，得到如下数据：
浓度x 抗压强度y 1 10.0 27.0 2 15.0 26.8 3 20.0 26.5 4 25.0 26.3 5 30.0 26.1 已知函数y与x的关系适合模型：y?a?bx?cx2，试用最小二乘法确定系数a，b，c，并求出拟合曲线。
n!实验5.观察级数?nn?1n?的部分和序列的变化趋势，并求和。
实验6.给出所有小于等于n的素数的个数，并对素数的个数进行拟合。 实验7.用将素数按照大小顺序排列p1?2,p2?3......,用dn表示两相邻素数间的间隔,且dn?pn?1?pn ，求出1000以内的素数的间距。 实验8. 用计算机绘出Koch曲线。 实验9.定义 Weierstrass 函数如下：
W(x)???(s?2)ksin(?kx),??1,1?s?2,
k?1?对不同的s 值，画出函数的图像.观察函数的不规则性与s 的关系，由此猜测Weierstrass 函数图像的维数与s 的关系.
实验步骤：
实验1. 已知函数f(x)=1/(x^2+2x+c) (-5<=x<=4),作出并比较当c分别取-1，0，1，2，3时的图形，并从图上观察极值点、驻点、单调区间、凹凸区间以及渐近线；
（1）在计算机中启动Mathematica系统.
（2）编写程序如下
Do[Plot[1/(x^2?2x?c),{x,?5,4}],{c,?1,3}]
(3)运行程序，屏幕显示如下：
实验2. 通过实验观察f(x)=cos x的泰勒公式与函数的逼近程度；
注：分不同的区间讨论
情况2.1 在x=0出展开泰勒公式
（1）在计算机中启动Mathematica系统. （2）编写程序如下
t?Table[Normal[Series[Cos[x],{x,0,i}]],{i,2,14,2}]; PrependTo [t,Cos[x]];Plot[Evaluate[t],{x,?Pi,Pi}](3)运行程序，屏幕显示如下：