第二章
§2.1
??dinger方程 Schro??dinger方程 Schro??dinger方程是非相对论量子力学的基本方程、是公设，正确 Schro性只能由它导出结论和实验是否符合来检验。下面只是去理解它。
已知无外场自由粒子波函数为
i???p?r?Et??? ??r,t??Ce??p2由于E?，这个??r,t?表达式显然满足下面形式的波动方程
2m???2???r,t?p? i????r,t?
?t2m??dinger方程。 这就是自由微观粒子的Schro
用一种简明的公设性程式——“一次量子化”方法直接“得到”
?p2这个方程：将非相对论经典物理学关于自由粒子能量等式E?，按
2m以下对应关系替换为量子算符
E?i??,?t??? （2.1a） p?p将得到的算符方程作用到系统状态波函数??r,t?上即可。
???p2?V?r?。 若有外场V?r?，系统总能量为E?采用“一次量子化”2m?程式：
E?i??,?t?????,V?r? （2.1b） ?rp?p??V??将所得算符方程作用到波函数??r,t?上，就得到对应的量子系统的非
??dinger方程： 相对论动力学方程━Schro? 25
???2???r,t??p???i????V?r????r,t? ?2m??t?? (2.2)
?2p?2?????????，这里Vr??r,t??V?r???r,t?，通常记?V?r?????V?r??H2m2m??称为此量子系统的哈密顿量算符。
这里指出四点：
??dinger方程为 第一，全面写开，非相对论性量子系统的Schro?????r,t???H??r,t??i? ? (2.3) ?t?????r,t?t?0?f?r????其中??r,0??f?r?为给定的初始条件，根据需要再配以适当边界条
件，组成一个完整的非相对论量子力学问题。
第二，“一次量子化”程式只是一种理解，不能当作严肃的逻辑论证。虽然在理解方程中用到了第一、第二公设，实质上方程仍然是个独立的公设1，共同代表着由经典力学向量子力学的逻辑飞跃。
?第三，对复杂经典系统，比如势V中还含有动量p的情况，一次
量子化过程中，一个经典力学量表达式可能对应几个量子算符表达
??和p?的排列顺序不同。比如 式。它们之间差别仅在于其中r?一次量子化22222?2p?x??x?,p?x?,p?xx?2p?x,xp??xxp??x,p?xxp??xx? x2px?????x,xpxx这种情况在前面流密度算符中已经出现过。对于从经典向量子过渡中算符的顺序问题，存在一些普遍对应规则2。但归根结底，正确的对应办法是符合实验检验。
第四，如V?V?r,t?，便是经典的含时系统。经一次量子化对应
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? 除了测量公设和全同性原理公设。全同性原理公设在两体或多体问题以及“二次量子化”方法中才用到。
比如可见：C.J. Isham，“Lectures on Quantum Theory —— Mathematical and Structural Foundations”。 Imperial College Press，1998。
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??H??t?。表明粒子在时变势场中运动，与外界有成为含时量子系统H能量交换，粒子机械能一般不再守恒，相应问题称为非定态问题。
§2.2 ??dinger方程基本性质讨论 Schro1, 量子态叠加原理与方程的线性性质
“量子态叠加原理”主张：如果?1和?2是系统的两个状态，则它们的任意复系数的线性组合???1?1??2?2，也必定是系统的一个可能状态。
这里需要强调指出4点：
??dinger方程是一个已经作了“低能近似”和“外场近似”1）Schro 的近似方程。前者排除了反粒子影响，后者排除了粒子相互作用时，
??dinger方程对?的线相互反馈、相互影响。正是这两个近似导致Schro??dinger方程线性形式！并非量子力学本身必须是线性的！根据“Schro性性质判定整个量子理论是线性的”是一种极大误解！是当前相当流行的误会！
2）量子态叠加原理是量子力学状态公设的一部分，它主张：整个量子系统的（渐进自由的）状态空间都必须是线性的。这与量子系统的动力学演化方程是否线性没有直接关联；
3）量子态叠加原理和经典波叠加概念有本质上的差异。这里是de Broglie波 —— 一种特殊的概率幅波的叠加原理。因此在诸如：
测量突变（波包塌缩），
单次测量结果原则上的不确定性， 每次测量所得力学量数值均是本征值。
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这三个方面都明显不同于经典理论中波叠加的概念。
4）态叠加原理有着很深刻的内涵。比如，态叠加原理将造成测量的不确定性。事实上，在自然界绝大部分量子态中，可观测力学量客观上都不具有确定的数值。这和Einstein 所主张的物理实在论很不相同。表明：
量子力学反对Einstein的物理实在论。
第十二章中还表明，它会导致多粒子体系中的量子纠缠现象，以及任意未知量子态的不可克隆定理。
2, 概率流密度与概率的定域守恒
??doring方程取复数共轭，于是有两个方程e 对Sch
?????r,t????2i??????r,t??V??r,t????t2m ???2????i????r,t???????r,t??V???r,t????t2m???dinger方程左乘以??，将其复数共轭方程左乘以?，得 将Schro????r,t??????2?????i??r,t???r,t??r,t?V?r,t?r,t?????????????t2m ???2????r,t????????i??r,t????r,t?????r,t??V??r,t????r,t?????t2m?前者减去后者，就得到微观粒子概率流的“连续性方程”：
?????r,t??t??????j??r,t? (2.4)
其中
?????r,t???????j??r,t??j??????r,t???r,t?;?????????????????r,t??r,t??r,t??r,t???????????2mi??28
?
?
(2.4)式有着平均的、或然的意义，因为它是下面算符方程在态??r,t?中的期望值1：
??????r????d??r?????p????p??????????????r?r????r?r??????j dt2m2m?????这里
????1???????j???r?r??p?2m?? ???????????????r,t????r,t????r,t????r,t??p??r?r?????2mi?????r?r??????r,t???r,t??????详细见下面（2..21）式计算。
最简单例子：自由粒子平面波??ae??ik?r，由(2.4)式得概率流密度，
?????????????ik?rik?rik?r?ik?r??j?????ae?ae?ae?ae????2mi? ???kp2??a2????2vmm???????? (2.4)式表明，一个重要性质：粒子数定域守恒。其数学表示是r?处dv体积内概率密度变化纯由dv体积内外的粒子交流造成的。比如，
dv中概率密度增加纯由净流进入dv。
如果粒子被局域在有限空间范围内，则对上面连续性方程进行全空间体积积分，并利用高斯公式
????jdv??????????j??ds
VS将体积积分化为无穷远表面处的通量积分，
???????????????r,t??r,t??r,t??r,t???????????????dv2mi??V ??????????????r,t??r,t??r,t??r,t?ds???????????2mi?S如果局域条件成立（即假定此量子系统为局域的，无穷远处没有净粒
1
参见T.F.Meister,et.al., J.Phys. A: Math. Gen., 13, 129-139(1980)。
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