时间导数算符表达式：
????rd??r??dt??2?????1????1p???r?r??,H???r?r??,???i???i?2m???????????r???r?r??,??????????r??,?? ????2mi????????r??r????r??????????r??2mi????????这里注意
????????r??r??r???r??,?????r???????r???? ???????????????r?r???????r?r?????r?r????????r?r??????小括号内?只对???r?r??中r作用。注意?????r?r???????????r?r???，得
???????????rd??r??dt???2mi????????r??r????r???????????r??????
(2.20)
?????1?p???????p????r????????r?r?????r????????j 2?mm???方程右边大括号内算符就是粒子的概率流密度算符。(2.20)表明：
密度算符与流密度算符存在连续性方程的关系。
将算符方程(2.20)式对??r,t?态求平均，利用时间导数算符的期望值等于该算符期望值的时间导数这一定义，
?????,t?d?r,t?r???d???????上式左????r,t???r?r????r,t?dr?dtdt? d??r?,t??dt?上式右?????r,t?????2mi???????r??r???????????????r??r???????r?,t?dr?
?????????????r??r???????r,t????r?????????r????r,t?dr??2mi??????????????????????????r,t??r,t??r,t??r,t????j???????????????2mi?? 40
?????p????????p?1?最后等号引用了流密度算符j????r?r??????r?r????在态??r,t?2?mm???中的期望值，即引用了下面等式：
??j????????????????r,t?j??r,t?dr????r?,t??????r?,t?????r?,t???????r?,t??2mi?? (2.21)
上式正是连续性方程（2.4），说明此处时间导数算符运算是自洽的。 ※ 3, Hellmann-Feynman定理和Virial定理 《Hellmann-Feynman定理》
微观粒子状态和力学量除了可能随时间变化之外，还可能依赖于某些参数，比如势阱宽度、位势函数中参量，甚至粒子质量、电荷、角动量等等。特别是系统的Hamilton量，期望值经常包含某些参量或体系空间结构常数。下面研究Hamilton量期望值如何随参数变化。
设系统H???处于某个定态??r,??上，其中?是某一参量。即
??H?????r,???E?????r,??
?于是有
???E?????dr?*?r,??H?????r,??
对?求偏导数，为
?E????????????*?*?H???*??dr?H??????H???????dr???????????*??????*?H?????dr?E?????E????*?dr???????????? *?????*?H???*????E????dr????????dr??????????H???2????*???E???dr?r,??dr?r,??r,??????????????? 41
由于?dr???r,????r,???1，第一项为零，于是得到 《Hellmann-Feynman定理》
?E??????H?????????dr??r,????r,??
????? (2.22)
《束缚定态的Virial定理》：
??1T2?xii?V ?xi (2.23a)
?和V分别是动能算符和势能算符。 这里T??dinger方程 证明：由定态Schro?i???V??E??xT??0 E??ip?i，再求内积，得 左乘以?x?*??????V??E??x??dx?xxpT?????0 ?iiE?E???i???*????p?x??x?x????????????dx?xx,T?Tp?p,V?Vp?Exp?x?????0 ?EiiiiiiiiiiE?????i????ip?V???????i,T?i?,p?i,V??i?由于对易子?x代入并消去部分项之后，即得 ??m??xi??2??V?*?p??*???i?E?x? 证毕。 2?dx?E?x??E?x???dx?E?x??x2m?xii※思考题：自由运动V?0，于是T??E?0。这个佯谬的“谬”出在哪？
当 V?x1,x2,???,xm? 为xi的n阶齐次函数时，由Euler定理有
??Vxi?nV，这时Virial定理简化成为 ??xii??? 2T?nV （2.23b）
Virial定理有助于动能和势能期望值以及它们分拆的计算。比如，
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??1?2?2谐振子势V?r??m?r：n=2, 得T?V；
2???e2Coulomb 势V?r???：n= -1, 得2T??V。
r?其实，由Hellmann?Feynman定理，利用坐标的标度变换xi??yi，可以更简单地证明 Virial 定理。
这两个定理在原子分子物理和结构化学中有许多应用。比如解释共价键成键原因、原子分子的稳定构形等。许多应用的基本思想是：
由总能量最小极值出发求解分子的稳定构形；
由势能梯度给出分子内部各部分间的相互作用力；等等。
※§2.4
??dinger方程向经典力学的过渡 Schro??dinger 量子力学向经典力学过渡有多种途径。现给出两种从Schro方程出发的过渡。
1, ??0过渡方式
量子效应总离不开Planck常数?。如果一个物理过程，其作用量
的量级远大于?的量级，或者说，系统动量p和运动空间范围尺度l足够大，它们乘积远大于?时，此过程中的量子效应便可以忽略。
可以指望，牛顿力学是量子力学当??0时的极限情况。就是说，对于接近经典的量子系统，如令（a和S均为实函数）
??r,t??a?r,t?e??i?S?r,t?? (2.24)
可以表明，当??0时S将服从牛顿力学规律而成为经典粒子的作用
??dinger方程，可得1 量。因为，将此表达式代入Schro 1
Л.Д. 朗道，E.M. 栗弗席茨， 同前。也可参见K. Gottfried, Quantum Mechanics, vol.1, p.70 (1965)。
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2?S?aai?i??2a?i????S??a?S??S??a??a?Va?0 ?t?t2m2mm2m分开实项和虚项即得两个方程
??S21?2??a?0??S??V????t2m2ma ??aa1???S??S??a?0?m??t2m从第一式中略去?2项，并将第二式乘以2a，得
21??S??S?V?0????t2m? ??a2????div?a2?S??0??m?????t (2.25)
第一个方程正是单粒子作用量S的经典Hamilton-Jacobi方程1。注意
?S??S?粒子动量p，故a2m是粒子流密度。第二个方程是连续性方程。
若将a2看成粒子密度（而不是概率密度），它完全是个经典力学方程。
??dinger方程中??0，或者说，当问题有 综上所述，如果令Schrolp???
则粒子de Broglie波波长??0，若不计?2项，就得到经典力学规律。说仔细些，当??0时，若在波函数的振幅和位相中，只计及到?一次方项，则它们将服从经典力学规律。
2, 期望值过渡方式及其局限性
??dinger方程给出平 再换一种方法来考察过渡问题。由势场中Schro均动量的变化规律。以x方向为例，
1
参见例如，吴大猷，古典动力学，第251页，科学出版社，1983年。 Hamilton-Jacobi方程为
??S?S??S； ?pi。 H?xi,??0??xi??xi??t
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