2015四川高考数学解答题组合训练九
1．（本小题满分12分）如图，某城市有一条公路从正西方AO通过市中心O后转向东偏北?角方向的OB．位于该市的某大学M与市中心O的距离OM?313km，且?AOM??．现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经
3过大学M．其中tan??2，cos??，AO?15km．
13（Ⅰ）求大学M与站A的距离AM； （Ⅱ）求铁路AB段的长AB．
B L L M A ?L O ?
2．（本小题满分12分）已知单调递增的等比数列{an}满足：a2?a3?a4?28，且
a3?2是a2,a4的等差中项.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn?anlog1an，Sn?b1?b2???bn，求使Sn?n?22n?1?30成立的正整数n的
最小值.
1
3．（本小题满分12分）在四棱锥P?ABCD中,平面PAC?平面ABCD,?ABC是边长为4的正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC中点,又?ADC?120,点N在线段PB上,且PN1?NB3.
（Ⅰ）求证：PA?BD； （Ⅱ）求证：MN//平面PDC.
PN A DM C
B
4．（本小题满分12分）最新高考改革方案已在上海和江苏开始实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：
在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且x=2y.
（Ⅰ）现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不 赞成改革”的教师和学生人数各是多少？
（Ⅱ）在（Ⅰ）中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出三人进行座谈，求至少有一名 教师被选出的概率。
2
1．【解析】（1）在?AOM中，AO?15，?AOM??且
cos??313，OM?313，
222由余弦定理得，AM?OA?OM?2OA?OM?cos?AOM
?(313)2?152?2?313?15?313
?13?9?15?15?2?3?15?3?72.
?AM?62，即大学M与站A的距离AM为62km；
cos??313，且?为锐角，
?sin??213，
（2）
在?AOM中，由正弦定理得，
AMOM?sin?sin?MAO,
62313?22sin?MAO??sin?MAO???MAO?2，4， 即13，??ABO????4， tan??2，
?sin??25，
cos??15，
2?sin?ABO?sin(???4)?110，又?AOB????，
?sin?AOB?sin(???)?5，
ABAO?在?AOB中，AO?15， 由正弦定理得，sin?AOBsin?ABO， AB15?2110，?AB?302，即铁路AB段的长AB为302km． 即52．【解析】
（1）设等比数列?an?的首项为a1，公比为q.依题意，有2(a3?2)?a2?a4，代入
2??q?2,?a1q?8,解之得 或a2?a3?a4?28，可得a3?8，?a2?a4?20，???3a?2??1?a1q?a1q?20,1?q?,?n2又数列?an?单调递增， ? q?2，a1?2，?数列?an?的通项公式为an?2. ???a1?32.
3
6
（2）?bn?2nlog12n??n?2n，?Sn??(1?2?2?2?22?n?2n)，
2Sn??[1?22?2?23?2?(n?1)?2n?n?2n?1]，
3两式相减，得Sn?2?2?2??2n?n?2n?1?2n?1?2?n?2n?1.
?Sn?n?2n?1?30即2n?1?2?30，即2n?1?32?25
?n?1?5 ?n?1?5 从而n?4 故正整数n的最小值为5. ?使?Sn?n?2n?1?30成立的正整数n的最小值为5. 12分
3．【解析】（1）因为?ABC是正三角形,M是AC中点, 所以BM?AC,即BD?AC, 又平面PAC?平面ABCD,平面PAC平面ABCD?AC,BD?平面ABCD,BD?AC,
所以BD?平面PAC. 又PA?平面PAC,所以PA?BD.. （2）在正三角形ABC中,BM?23
在ACD中，因为M为AC中点, DM?AC，所以AD?CD, 因为?ADC?120,所以?ADM?60.
DM?233 ,所以BM:MD?3:1,
所以,
所以BN:NP?BM:MD,所以MN//PD. 又MN?平面PDC,PD?平面PDC,
所 以MN//平面PDC. 4．（Ⅰ）由题意
x?0.3,?x?150，所以y?z?60， 50050?20?2,应抽取学生人数500因为z?2y，所以y?20,z?40,则应抽取教师人数
50?40?4. 5分 500（Ⅱ）所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为a,b，4名学生记为1,2,3,4，随机选出
4
三人的不同选法
有(a,b,1),(a,b,2),(a,b,3),(a,b,4),(a,1,2),(a,1,3),(a,1,4),(a,2,3),(a,2,4),(a,3,4)， 9(b,1,2)(b,1,3),(b,1,4),(b,2,3),(b,2,4),(b,3,4)，(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4),共20种，分
至少有一名教师的选法有
(a,b,1),(a,b,2),(a,b,3),(a,b,4),(a,1,2),(a,1,3),(a,1,4),(a,2,3),(a,2,4),(a,3,4)， (b,1,2)(b,1,3),(b,1,4),(b,2,3),(b,2,4),(b,3,4)共16种，
至少有一名教师被选出的概率p?
164?. 205 5