第九章 实数的完备性 §1关于实数集完备性的基本定理
§1关于实数集完备性的基本定理
授课方式：课堂讲授 教学时数：2学时 教学目的与要求：理解区间套定理、魏尔斯特拉斯聚点定理、柯西收敛准则、有限覆盖定理。 教学重点与难点：正确理解区间套定理、魏尔斯特拉斯聚点定理、柯西收敛准则、有限覆盖定理。 教学过程：
前面我们由确界存在定理证明了单调有界定理.下面由单调有界定理证明闭区间套定理、再证明聚点定理、柯西收敛准则和有限覆盖定理,最后证明确界存在定理.这样就证明了这些定理的等价性.它们都是刻画实数集完备性(连续性)的基本定理,它们使极限理论乃至整个数学分析能建立在坚实的理论基础之上.
一 区间套定理
定义9.1.1 设闭区间列?an,bn?具有如下性质: (ⅰ)?an,bn???an?1,bn?1?(n?1,2,(ⅱ)lim?bn?an??0,
n????):
则称?an,bn?为闭区间套,或简称区间套.
这里性质(ⅰ)表明,构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个,即各闭区间的端点满足如下不等式:
??a1?a2?定理9.1.1(区间套定理)若,即 ???an,bn?(n?1,2,)nn?an??bn??b2?b1.
??a,b??是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点?,使得
an???bn,n?1,2,.
证 由闭区间套的定义知,?an?为单调递增有上界的数列,?bn?为单调递减有下界的数列,依单调有界定理,?an?与?bn?都收敛,设liman??,limbn??,则有
n??n??an?????bn(n?1,2,).
由区间套定义的条件(ⅱ)可得
????limbn?liman?lim(bn?an)?0,
n??n??n??所以
???.
再证?是唯一的.设数??也满足an????bn,则我们有
1
第九章 实数的完备性 §1关于实数集完备性的基本定理
?????bn?an(n?1,2,).
由区间套的条件(ⅱ)得
?????lim?bn?an??0?????.▋
n?? 推论 若???an,bn??n?1,2,使得当n?N时有
?是区间套??an,bn??所确定的点,则对任给的??0,存在N??,
?an,bn??U??;??.
需要指出的是:区间套定理中要求各个区间都是闭区间,才能保证定理的结论成立.对于开区间列,如??0,????1???1??0??0,但不存在属于所有开???,虽然其中的各个开区间也是前一个包含后一个,且limn??nn????区间的公共点.
二 聚点定理与致密性定理
定义9.1.2 设S为数轴上的点集,?为定点(它可以属于S,也可以不属于S).若?的任何邻域内都含有S中无穷多个点,则称?为点集S的一个聚点.
例如,点集S????1??n??1??1?有两个聚点和:点集???1??1S???sin?只有一个聚点??0:12n??n?4?4?都是?1,?的聚点.而正整数集3?3??区间?1,?内的一切点及点?1?1,?2?无聚点.
聚点的另外两个等价定义如下:
?4??3?没有聚点:任何有限集也
定义9.1.2′对于点集S,若点?的任何邻域内都含有S中异于?的点,即U0??;???S??,则称
?为S的一个聚点.
定义9.1.2″若存在各项相异的收敛数列?xn??S,则其极限limxn??称为S的一个聚点.
n??关于以上三个定义的等价性证明,我们简述如下.
定义9.1.2?定义9.1.2′是显然的,定义9.1.2″?定义9.1.2也不难得到:现证定义9.1.2′?定义9.1.2″.
0设?为S(按定义9.1.2′)的聚点,则对任给的??0,存在x?U??;???S.
令?1?1,则存在x1?U0??;?1??S:
0令?2?min?,??x1?,则存在x2?U??
?1?2????;?2??S,且显然x1?x2:
2
第九章 实数的完备性 §1关于实数集完备性的基本定理
令?n?min?,??xn?1?,则存在xn?U0??;?n??S,且显然xn与x1,x2,无限地重复以上步骤,得到S中各项互异的数列?xn?,且由
?1?n??,xn?1互异.
??xn??n?1?limxn?? n??n下面我们用区间套定理来证明聚点定理.
定理9.1.2(魏尔斯特拉斯聚点定理)实数轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点. 证 因为S为有界点集,故?M?0,使得S???M,M?,记?a1,b1????M,M?.
现将?a1,b1?等分为两个子区间.因S为无限点集,故两个子区间中至少有一个子区间含有S中无穷多个点,记此子区间为?a2,b2?,则?a1,b1???a2,b2?,且
b2?a2?1?b1?a1??M. 2再将?a2,b2?等分为两个子区间.因S为无限点集,故两个子区间中至少有一个子区间含有S中无穷多个点,记此子区间为?a3,b3?,则?a2,b2???a3,b3?,且
b3?a3?1Mb?a?. ?22?22将此等分子区间的过程无限地进行下去,得到一个区间列?an,bn?,它满足 ???an,bn???an?1,bn?1?,n?1,2,bn?an?即
nn,
M?0?n???, n?12??a,b??是区间套,且其中每一个闭区间都含有S中无穷多个点.
由区间套定理,存在唯一的一点???an,bn?,n?1,2,?,于是由定理9.1.1的推论,对任给的??0,
存在正整数N?0,当n?N时,有?an,bn??U??;??.从而U??;??内含有S中无穷多个点,按定义9.1.2,?为S的一个聚点.▋
推论(致密性定理)有界数列必含有收敛子列.
证 设?xn?为有界数列.若?xn?中有无限多个相等的项,则由这些项组成的子列是一个常数列,而常数列总是收敛的.
若数列?xn?不含有无限多个相等的项,则?xn?在数轴上对应的点集必为有界无限点集,故由魏尔斯特拉斯聚点定理,点集?xn?至少有一个聚点,记为?,于是按定义9.1.2\存在?xn?的一个收敛子列
3
第九章 实数的完备性 §1关于实数集完备性的基本定理
?x?,使得limxnkk??nk??. ▋
三 柯西收敛准则
在定理2.3.3中,我们用单调有界原理证明了柯西收敛准则的充分性.下面,我们用致密性定理再次给出柯西收敛准则的充分性.
证 设数列?an?满足柯西条件,先证明?an?是有界的.为此,取??1,则存在正整数N,当
m?N?1及n?N时有
an?aN?1?1.
由此得
an?an?aN?1?aN?1?an?aN?1?aN?1?aN?1?1
令
M?max?a1,a2,?,aN,aN?1?1?,
则对一切正整数n,均有an?M.
于是,由致密性定理,有界数列?an?必有收敛子列ank,设limank?A.对任给的??0,存在
k????K?0,当m,n,k?K时,同时有
an?am??2(由柯西条件),ank?A??2(由limank?A),
k??因而当取m?nk(?k?K)时,得到
an?A?an?ank?ank?A?这就证明了liman?A. ▋
n???2??2??
下面,我们用数列的柯西收敛准则证明确界原理.
证 设S为非空有上界的数集.由实数的阿基米德性,对任何正数?,存在正整数k?,使得
???k??为S的上界,而??????k??1??不是S的上界,即存在???S,使得????k??1??.
11,n?1,2,?,则对每一个正整数n,存在相应的?n,使得?n为S的上界而?n?不是nnS的上界,故存在???S,使得
1????n?. (9-1-1)
n分别取??又对正整数m,?m是S的上界,故有?m???,结合(9-1-1)得
1?n??m? (9-1-2)
n
4
第九章 实数的完备性 §1关于实数集完备性的基本定理 同理有?m??n?1.从而得 m?m???max?,?.
于是,对任给的??0,存在N?0,当n,m?N时,有
?11??mn??n??m??.
由柯西收敛准则,数列??n?收敛.记
lim?n??. (9-1-3)
n??现在证明?是S的上确界.首先,对任何的??S和正整数n有???n,由(9-1-3)式得???,即
1?0?n???及(9-1-2)式,对充分大的n同时有 n1???,?n???. n2211又因?n?不是S的上界,故存在???S使得????n?,结合上式得
nn?是S的上界.其次,对任何??0,由
??????2??2????.
即?是S的上确界.
同理可证:若S为非空有下界的数集,则必有下确界.▋
至此,我们由确界存在定理证明了单调有界定理,用单调有界定理证明闭区间套定理,用闭区间套定理证明了聚点定理,而用聚点定理证明了柯西收敛准则,最后用柯西收敛准则证明了确界存在定理.这样就完成了这些定理的等价性证明.
四、有限覆盖定理
前面讨论的确界存在原理、单调有界定理、闭区间套定理、聚点定理和柯西收敛准则的关注重点都是一个点的存在性,也就是说,它们关注的重点都是局部问题.在本小段,我们介绍一个关注整体性的结论——有限覆盖定理.为此,我们首先给出
定义9.1.3 设S为数轴上的点集,H为开区间的集合(即H的每一个元素都是形如??,??的开区间).若S中任何一个点都含在H中至少一个开区间内,则称H为S的一个开覆盖,或称H覆盖S.若H中开区间的个数是无限(有限)的,则称H为S的一个无限开覆盖(有限开覆盖).
例如,H?????11?,?n?n?2n????1??1????1??是区间?0,1?的一个开覆盖.事实上,对?x??0,1?,取k????1,
?x??1?1?111?x?,即从而k?k?1???;又k????????1?k?2,所以k??k?2,从而有
xk?2k?x?x?x??x? 5