放缩法及其应用
一、引言
放缩法是一种解决数列与不等式有关的问题，函数的最值问题，以及极限问题的非常重要的方法，是不等式变形的重要依据。它不仅在高中使用频率极高，在大学也常被使用。因其灵活多变，学生常常感到力不从心，不知该如何下手。本文就放缩法的七种形式展开，希望能让广大读者，尤其是刚接触微积分极限问题的学生对放缩法有一个系统的认识。
二、放缩法及其各种方式
所谓放缩法即如果想要证明变量A大于变量B，则通过将A缩小到一定程度或将B扩大到一定程度 而达到证明的目的的方法。能正确运用放缩法的关键就是找到能实现不等关系的“媒介”―放缩量。想要实现这一步就需要我们掌握对待不同问题的方法。 ㈠添上或舍弃一些项
要解决一个与不等式相关的问题，我们可以根据多项式中部分项的性质进行放大或缩小，添上或舍弃一些不予考虑的项即可实现合理放缩，达到我们解题的目的。这种放缩方法是最为简单的一种放缩法.
a?a2???ann?4n?52n?11例1.已知数列?an?,an?,求证1?4 ??nn?3n?4n?5解:由题意易知
n?41n?512n?111?1??1??2? , , n?3n?3n?4n?4n?5n?5111?0, ?0, ?0 又?n?3n?4n?5111 ?an?4????4
n?3n?4n?5 故 a1?a2???an?4n ?a1?a2???an?4
n解析﹕因为是an假分数的形式，所以我们将an的形式进行化解，化解后发现整数部分加起来刚好是4，而分式部分都是正数。故我们可以舍弃所有分式实现放缩，同理我们也可以添上一些项，实现放缩。 ㈡分式放缩
在许多分子或分母含有字母的分式中，我们将分母进行增大和缩小，将分子
进行增大或缩小，或将分子分母同时进行增大或缩小的方法是常用的分式放缩
1
法。其最常见的形式是将多个形式类似的分式放大或缩小成同一个形式，实现多项式的整合从而方便计算。分式放缩同添减项一样，都是比较容易掌握的放缩方式。
345142例2.求方程?有无正整数解，若有是多少？ ??nn?1n?241解:由题意可知：
44455 3?3, ??, ?
n?2n?1nn?2nn?2n3?4?53453?4?5 即 ????n?2nn?1n?2n3?4?51423?4?5 ??n?241n104246?n? 故 因此n?2 7171345142?? 把n?2代入原式可知?，故原式无整数解。
nn?1n?241解析：对于这道题，如果我们用普通的方法去求n的准确值的话涉及到n3，计算很繁琐而且很不方便，所以我们可以用放缩法将n卡在一个范围内，将范围内的值代入检验即可。对于此题我们是将分母进行了增大和缩小。对于其他的一些分式问题我们也可以将分子进行增大和缩小，或将分子分母同时增大同时缩小，即
aa?m(a?b)形式。我们生活中俗称的“糖水加糖，甜更甜”就可以典型的?bb?m用这种放缩原理来解释，分式放缩是放缩过程中经常要用到的一种放缩方法，如遇到以下情况也常用放缩法﹕ ①设T?1111????197919801991，则T的整数部分可能是多少？
1111??????1的正负状况？ 333433?13?23?1让我们再来看一个大学高等数学中的极限问题
②判断
111??求lim?2?2???2?n??n?n?1n?n?2n?n?n? ?111????,则 222n?n?1n?n?2n?n?n1?2??n1?2??n 2 ?xn?2n?n?1n?n?n解：记xn?又?limn??2?n2?n+1?n?n?1??limn??2?n2?n?n?n?n?1??12
111??1故lim?2?2???2??n??n?n?1n?n?2n?n?n??2
2
解析﹕在求极限的过程中经常通过放大缩小，然后再采用两边夹法则求出其极限。通过观察我们发现这道题和上一道例题有异曲同工之妙。虽然问题的类型不同但它们使用的方式完全一样，我们要根据题的中心思想来正确的进行分式放缩。放缩法在数列求极限的过程中经常被用到，其思想就是将数列进行放缩，在我们没办法直接算出极限的情况下，放缩法是最有效的求极限的方法。 ㈢裂项放缩
多项式中有分式，但用分式放缩法又无法实现合理的放缩，并且分母或分子中含有平方项﹑立方项﹑平方根项或立方根项等情况时常用裂项放缩，其中心思想是转化为各项为分母的低次幂的和式或积式，化解后项数减少，从而得到放缩结果。
1?1?11例3.求证lim?2?2???2??n??24n?4 ?1?1??11?11解：lim?2?2???2?=lim?2+2+?+2?n??24n?n???24n? ?又??1?1111 ???n2n?n?1?n?1n1111111n?1?????1????????1
223nn2232n21?1?11故lim?2?2???2??,结论得证n??24n?4?
解析﹕从整体观察，我们发现题中都是分式的形式，但运用分式放缩—即放缩
1分子分母又找不到放缩的范围，故可以在通项上找切入点。我们可以很容
?2n?2易知道n?1?n?n?1，n?n?1??n2?n?n?1?,故可从这个角度切入进行放缩,是正整数变量k都可以思考将其放大到k?1,或缩小到k?1得情况。涉及到k2和
k我们都要首先考虑裂项放缩的方法。
㈣运用重要不等式进行放缩
我们运用一些定理或运算法则可以得到一些比较常用的不等式结论。其中 均值不等式和绝对值不等式无论是在高中阶段还是大学阶段都非常重要。还有 一些其他不等式，如伯努力不等式，柯西不等式，排序不等式等也是比较常见 的。
⑴用均值不等式
2a?b?ab可以由a?b?0推得，均值不等式即因此不等式适用于任何两个2正数，所以其应用范围比较广。均值不等式的运用是有关不等式的放缩中最常用的一种放缩。凡是在正数域上的放缩通常情况下先考虑均值不等式放缩。不会运
?? 3
用放缩法就相当于舍弃了放缩法的“半壁江山”，熟练掌握均值不等式的运用是运用放缩法的第一步。
例4.若a,b均为正数，且log5a?log25b?2,故请问你能求出2a?16b的最小值吗？并写出求解过程。 解：由题意得： log5a?2log25b?2 即ab?52?25 2a?16b?2a?24b?2?2a?4b?2?225?4bb?2?22?25?4?211?2048
故2a?16b的最小值为2048
a?b?ab，2然后两次运用均值不等式进行放缩。本题中两次均值不等式都用的非常巧妙，均值不等式的妙用在本题中得到了很好的展现。此均值不等式不仅对两个正数成
解析﹕先将本题形式进行化解，化解后发现可以采用均值不等式
立，对任意n个非负数a1、a2?an，都有
a1?a2???ann?a1?a2??an，仅当
n所有数相等时等式才成立，我们称这个等式为AM?GM不等式。这个不等式有广泛的应用。
111例5.证明n?n?1?n?n?1????
2n解析：当我们刚开始看到这样一个不等式时。我们发现它很复杂。我们先对这道题进行分析
111 令S?1????, 则需证 n?n?1?n?n?S
2n1S?1?n?n?1? 即n
11?1?1???1?1?????1?1?????1????S1?1???1?2??n? 2n? 1???nnnn13n?1n?1??1?nnn ?????1?1?1???1??2?????n?1?1?n ????2n?2??n?Sn 所以结论得证
此问题在解决与几何有关的问题时也常被使用。例如以下例题
?1?n? 故
1n?1?x2y2?1交于点P?x1,y1?,Q?x2,y2?两个不同点，且直例6.已知直线l和圆C：?32 4
线l的斜率存在，?OPQ的面积为
L,求OL?PQ的最大值。
6，其中O为坐标原点，设线段PQ的中点为2x2y2解：由题意知：m?0，将其代入??1，得
32 ?2?3k2?x2?6kmx?3?m2?2??0， 其中??36k2m2?12?2?3k2??m2?2??0， 即3k2?2?m2，
3?m2?2?6km 又x1?x2??，x1x2?，
2?3k22?3k2 ?PQ?1?k?2?x1?x2?226?3k2?2?m2 ?4x1x2?1?k?2?3k22 ?点O到直线l的距离为d?m1?k2，
?S?OPQ22m 112263k?2?m?PQ?d?1?k??222?3k23k2 ?6m3k2?2?m22?3k2
又S?OPQ?
6.整理得3k2?2?2m2 2x1?x23ky?y21??? , 122m2m1?1?3? ?2?2?m??3k1?,?, OL? 所以L?-?2mm?1?? 俩点之间的距离PQ为2?2?2?，
m??11??3??2??22?1?1??1??mm??25 所以OL?PQ??3?2??2?2?2???2?24m??m??????
5
2