25，当且仅当m??2时等号成立 4解析：这是2011年山东卷的高考压轴题的第二问，我们根据题设进行化解，解出所求的两部分，将它们相乘发现可以用到均值不等式，而且只有均值不等式才能解出正确的答案，可见均值不等式的重要性。又再如2011年的新课标卷中20题，也同此题一样，在解题中巧妙的通过均值不等式得到所需要的结果。
故所求最大值为
⑵运用a?b?a?b?a?b
因为实数与数轴上的点一一对应，所以我们根据数轴上两点之间的距离及它们与原点之间的关系就可以得到a?b?a?b?a?b。因其中a，b可以是任意实数，所以应用范围极广。凡是与绝对值有关的多项式的放缩都应首先想到绝对值不等式的放缩。
11例7.已知实数x、y,2x?y?,3x?y?.请问y的范围
57解：由题意知
1115y?5y?2x?y?3x?y?2x?y?3x?y??? 573511 ?y??5?
357解析：观察俩边的不等式，将两项加减之后我们可以发现采用我们常用的不等式
a?b?a?b?a?b，此不等式也是我们解决与绝对值有关不等式的重要法宝。
在高考题中出现的频率极高。高中生务必得谨记. ㈤采用二项式定理进行放缩
运用二项式定理将?1?n?展开，其主要思路就是在展开式中筛选对解题有用
n的项，舍弃对解题无用的项。
k例8.设k??,b?1,且k?2,求证解：令t?kb?1,即 b??1?t?
kb?11? b?1k即求
t111??, kk?1?t??1k?1?t??1ktk即?1?t??1?kt
?1?t?k11?1?kt ?1?Ckt?Ck2t2???Ckktk, 其中1?Ck而Ck2t2?Ck3t3???Ckktk?0 所以?1?t??1?kt
k 6
解析：观察此题，我们发现，需证的不等式形式很复杂。我们先将最复杂的那个形式用另一个未知量替换，替换后转换。我们发现刚好可以用到二项式定理，然后运用二项式定理 进行放缩。运用放缩主要是针对题设中存在的幂的情况。
n例9.limn?0n??2 解：由题意知
n?n?1?n12n 2n??1?1??1?Cn?Cn???Cn?1?n????1
2n?n?1? ? 2n2其中0?n?
2n?12又?lim?0n??n?1 n?limn?0n??2 解析：要证明此题，重点是对2n进行放缩，多项式幂的形式可以用二项式定理进行放缩，这种解法是解决此类题的技巧，是对例⒎的更巧妙的运用。为了适度放缩必须在展开式中选择适合的项，像此题中若选择n或n?1，则
nnlim?lim?会导致结果错误。所以作者首先得对要求的结果有一个大致的1n??n?1n??n致的估计。 ㈥换元放缩
当题中出现的字母比较多或者形式比较复杂时我们可以通过换元的方式使原式的性质更明显的表现出来，进而方便计算。
111例10.已知a?b?0,求证???0
a?bb?cc?a证明：?a?b?0
故可设 a?c?t,b?c?u ?t?u?0?
?t?u?0
11111111t?u 则?????????0
a?bb?cc?at?uututtu111???0 即
a?bb?cc?a解析：我们发现三个分式之间看似没有联系，无法用分式放缩和裂项放缩。所以我们可以通过换元转化，将原来特征不明显的多项式转化为特征明显，可以放缩的多项式。本题中我们对变量a，b进行换元，换元后将正数项缩小，连续运用俩次放缩即可得到我们所需要的结果。 ㈦运用函数性质进行放缩
函数的学习是我们整个课程学习中较难的一个环节，函数的内容细而多，且用法巧妙，可以和方程不等式等其他数学知识相互转化，综合运用。就放缩的运
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用而言，运用函数性质进行放缩是不可或缺的。下面我们仅对3个主要方面—单调性，凸函数性质，三角函数有界性进行说明。 ⑴、单调性
单调性是函数最基本的性质之一。在利用函数性质进行放缩的过程中，函数的单调性是最常用的一种方式。运用单调性进行放缩，短点处的最大值或最小值即为放缩的界。在一般情况下，题设中不出现函数，我们也可以构造函数，然后用函数的性质进行放缩。
?1??1??1?例11.证明?1?1???1????1??????1???2n?1
?3??5??n?1???1?1????1??????1?解：令Tn??3??2n?11??2n?1?
?Tn?1?1 即Tn?1?Tn Tn ??Tn?单调递增且有Tn?T1?23?1故结论得证
解析：初看此题，我们发现运用前六种方法不太容易得到本题的放缩结果，所以我们需要另谋新法-构造函数。构造函数是本法的核心内容。将多项式问题 转化为函数问题，运用函数的单调性，确定出函数最值T1，并求出T1的值，则本题结论得证。这种方法很巧妙。一旦想到可以构造函数，那么接下来的解题就是水到渠成的事。所以读者一定要熟知这种思路，解题会有事半功倍的效果。 ⑵、凸函数的性质
凸函数作为一种特殊的函数，有许多特殊的性质。运用这些性质我们可以对构造的函数进行放大和缩小，实现放缩的目的。在运用函数性质的过程中，有两部分比较难解决。第一部分即辨别是否为凸函数，第二部分即综合运用凸函数的性质。由于我们平日里对凸函数的运用较少，所以这种方法是不太容易被广大读者熟悉掌握的。
例⒓证明如果0?a,b,c?1，那
abc????a?1???b?1???c?1??1
b?c?1c?a?1a?b?18
解析：很多同学看到这道题都无法下手，不知道想要等式左边的式子突破口在哪里。我们发现面对这样的不等式，我们之前所研究的加减项，分式放缩，裂项放缩，重要不等式放缩都不太好用，虽然都可以解出但都比较繁琐。在这样的情况下学生们就得培养敏锐的洞察力和联想想象能力。试验用函数原理来解决这道题。若我们令左边的多项式为f?a,b,c?,我们能发现f连续且对每一个变量 都是凸的，即固定任意两个变量，那么f是第三个变量的凸函数，故在端点处取得最大值。8个点??0,0,0?,?0,0,1?,??1,1,1??当中，每个点的f值都是1.显然f在
0?a,b,c?1上是连续的。而有限个凸函数的和仍然是凸函数，所以f对每个变
量都是凸函数，从而对0?a,b,c?1，有f?a,b,c??1
⑶利用三角函数的有界性
对于任意的x均有sinx?1，cosx?1。通过三角函数变换又可以得到
Asin??x????A，Acos??x????A，对于此类三角函数我们均可以用其有界性
进行放缩。
例13.已知x2?y2?r2 ?r?0?,求证y?tx?t1?a2 解：设x?rcos?, y?rsin?
则y?tx?rcos??rtsin??rcos??tsin??r1?t2sin?????
sin??t cos?其中
因为sin??????1 所以y?tx?t1?a2
解析：观察此题，我们发现题中设及两个变量x,y，三个任意常量a，t，r，
x2?y2?r2?r?0?是圆的标准方程形式。未知量多而关系式少很难下手，故可引
入新的关系式x?rcos?,y?rsin?换元进行化解，发现设及某量的正弦值的绝
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对值，然后运用三角函数的有界性进行放缩。
放缩的这七种形式经常被混合使用。如运用第五种放缩方法时，对二项式展开后，筛选对解题有用的项的过程实际已经用到了第一种放缩方法；在例10中，运用第六种放缩方法的同时，实际已经用到了的一种放缩方式；在例13中其实已经用到了第六种放缩方式换元放缩。所以大家需要多进项练习，从而熟练掌握多种放缩方式。
三、适度放缩
在解答一道题时，我们发现即便我们选择了正确的放缩方法，但是仍然不能正确的解决，这就要求我们要学会适度放缩。 例14.求证①1?111?????2; 22223n1117?????; 222423n1115?????; 2232n23 ②1? ③1?证明：①?1111 ?n?2? ???2nn?n?1?n?1n ?1?1111?1?1??11??1?????1?1????????1?1??2 ??????223n?1nn2232n2??????111?11?????? ?n?2? n2n2?12?n?1n?1? ②? ?1?1111??1??11?1???1?????1?1??????????????
2?324n?1n?12232n2????????1?111?1?1?7 ?1??1?????1??1???
2?2nn?1?2?2?41441??1???2??? ?n?2? n24n24n2?12n?12n?1?? ③? 10