高等代数
（Higher Algebra，202004000,202005000）
一、前言
1、课程概述
高等代数起源于解线性方程组，主要研究方程组理论、矩阵理论以及线性空间的理论，是现代数学的基础，是不可缺少的理论和应用工具，在科学技术各领域中发挥着重要作用。为此 《高等代数》已成为金融数学、统计学等专业的重要基础课程，对学习后继课程具有重要意义，是科学研究的重要工具。它除使学生掌握必要的基础知识之外，同时着重训练学生掌握数学结构的观念、公理化的方法、纯形式化的思维，对学生在知识结构、综合素质、创新能力等方面加以全面培养和整体提高．
本课程的主要内容包括行列式，线性方程组, 矩阵，二次型，线性空间,矩阵的对角化以及欧式空间等。重点是行列式，线性方程组, 矩阵，二次型以及矩阵的对角化。
2、课程性质
本课程为金融数学专业的必修课程。同时为金融工程试验班、统计学专业、应用统计学专业的公共通识课程。
3、学分与学时
本课程共8个学分，共计8*16=128个学时。课程分两学期开设，课程名分
别为高等代数I和高等代数II，课时量分别为64 和64.
4、教学目的与要求
通过本课程的学习，学生能正确理解行列式、矩阵、向量、秩、线性空间、欧几里得空间等有关概念, 能理解并掌握线性方程组的理论、矩阵理论、线性空间的理论，能熟练地应用它们，特别地能以矩阵为工具解决遇到的问题，要为后续课程的学习打下坚实的基础．
同时通过本课程的学习培养学生的数学素养，特别地培养他们的抽象思维能
力和逻辑思维能力，养成勤奋好学、善于思维的好习惯。
5、使用对象
金融数学专业、金融工程试验班、统计学专业、应用统计学专业全体学生。 6、先修课程要求
本课程无先修课程要求，学生只须具备基本的初等数学知识即可。
二、讲授提纲
第一章 行列式
（一）本章概述
行列式是高等代数中非常重要的概念，它的使用将贯穿整个高等代数的始终。本章将首先引入行列式的概念，然后学习行列式的计算，最后利用行列式解线性方程组。
（二）教学目标
通过本章学习，实现如下目的： （1） 理解行列式的概念；
（2） 能熟练应用行列式的性质和展开定理计算行列式； （3） 会用Cramer法则求解线性方程组． （三）教学方法 讲解法
（四）教学内容
§1.1. 引言
一、数域的概念
二、 二阶、三阶行列式与线性方程组的解
§1.2. 排列
一、 排列及排列逆序数的定义 二、奇偶排列
三、有关排列的定理
§1.3. n 阶行列式
一、 n 阶行列式的定义
二、行列式的一般项在展开式中的符号
§1.4. n 阶行列式的性质 n 阶行列式的性质及其推论
§1.5. 行列式的计算
n 阶行列式的计算
§1.6. 行列式按一行一列展开
一、n 阶行列式按一行一列展开定理 二、范德蒙（Vandermonde）行列式
§1.7. 克拉默（Cramer）法则 一、 克拉默（Cramer）法则 二、关于齐次线性方程组
§1.8. 拉普拉斯（Laplace）定理 行列式的乘法规则
一、 拉普拉斯（Laplace）定理 二、行列式的乘法规则
（五）重点
行列式的计算、Cramer法则 （六）难点 行列式的定义 （七）思考题
１．
求下列排列的逆序数：
（１）13L(2n?1)24L(2n)； （２）n(n?1)L21． ２． ３．
写出四阶行列式中含有因子a23a41的项，并指出应带的符号．
a12a22a32a42a52a13a23a33a43a530a24a34000a25a35． 00用行列式的定义计算下列行列式：
000L01a2100L20LLLL； （２）a31（１）L0n?1L000n0L000４． 用行列式的性质及行列式的展开定理计算下列行列式： xa1a2Lan1?a11L1a1xa2Lan11?a2L1（１）a1a2xLan； （２），其中a1a2Lan?0
LLLLLLLLL11L1?ana1a2a3Lx12（３）3Ln234L1345L2LLLLLn1a2a12； （４）LLana1n?1x1?a12a1a2La1ana2an其中x1x2Lxn?0． L2xn?an2x2?a2LLLana2Lx0（５）L?1xL00?1L0LLLL00Lxa200L?1a1?x；（６）
1a1a12La1n?2a1n1a22a2LLL1an2an0an５．
an?1an?2LLLn?2a2Lna2Ln?2annan
L已知４阶行列式D中的第１行上的元素分别为1,2,0,?4，其余子式分别
为1,?2,5,?1；第３行上元素的余子式分别为6,?1,7,x；求行列式D的值，及x的
值．
６．
12设４阶行列式
143423560278中第４行元素的余子式分别为M41,M42,M43,M44，31代数余子式分别为A41,A42,A43,A44，求
1）A41?2A42?3A43?4A44；2）M41?2M42?3M43?4M44．
７．
13设４阶行列式
112351346244中第４行元素的代数余子式分别为A41,A42,A43,A44， 72求A41?A42与A43?A44．
118. 设行列式1L1320L0503L0LLLLL2n?100Ln中第１行元素的代数余子式分别为
A11,A12,?,A1n，求A11?A12???A1n
第二章 线性方程组
（一）本章概述
高等代数起源于解方程组，因此方程组是高等代数最重要的内容之一。本章将首先介绍方程组最一般的解法---消元解法，然后研究向量间的线性关系，在此基础上进一步学习矩阵的秩，最后得到线性方程组有解判别定理以及方程组解的结构。
（二）教学目标
（1） 掌握向量的线性表示、线性相关性的判别法； （2） 掌握极大无关组的求法； （3） 掌握矩阵秩的求法；
（4） 掌握线性方程组解情况的判定方法； （5） 掌握齐次线性方程组的基础解系的求法； （6） 掌握非齐次线性方程组解结构定理 （三）教学方法 讲解法
（四）教学内容
§2.1. 消元法
一、消元法
二、关于齐次线性方程组
§2.2. n 维向量空间
n 维向量及其运算
§2.3. 线性相关性
一、 线性组合与线性表示 二、向量组的线性相关性 三、向量组的极大无关组、秩
§2.4. 矩阵的秩
一、矩阵的行秩、列秩、秩 二、方阵的秩与行列式的关系 三、秩与子式的关系
四、向量组的秩与极大无关组的求法
§2.5. 线性方程组有解判定定理
线性方程组有解判定定理