掌握集合、元素的概念、表示法 熟练区分“∈”与“”的意义
§1.2 集合的基本运算
在这一节中我们介绍集合的并、交、差三种基本运算，这三种运算的基本规律，以及它们与集合的包含关系之间的基本关联． 定义1.2.1 设A与B是两个集合．
集合{x|x∈A或x∈B}称为集合A与集合B的并集或并，记作AUB，读为A并B．
集合{x|x∈A且x∈B}称为集合A与集合B的交集或交，记作A∩B，读为A交B．若A∩B=，则称集合A与集合B无交或不相交；反之，若
A∩B≠，则称集合A与集合B有（非空的）交．
集合{x|x∈A且xB}称为集合A与集合B的差集，记作A＼B或A－B，读为A差B，或A减B．
关于集合的并、交、差三种运算之间，有以下的基本规律． 定理1.2.1 设A，B，C都是集合．则以下等式成立： （1）幂等律 A∪A＝A A∩A=A （2）交换律
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A∪B＝B∪A A∩B=B∩A （3）结合律
(A∪B)∪C＝A∪(B∪C) (A∩B)∩C＝A∩(B∩C) （4）分配律
(A∩B)∪C＝(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C＝(A∩C)∪(B∩C) （5）DeMongan律
A-(BUC)=（(A-B)∩(A-C) A-((B∩C)＝(A-B)U(A-C)
集合的并、交、差三种运算与集合间的包含关系之间有着以下基本关联．
定理1.2.2 设A，B是两个集合．下列三个条件等价： （l）AB； （2）A∩B＝A； （3）A∪B＝B．
定义1.2.2 设X是一个基础集．对于X的任何一个子集A，我们称X－A为A（相对于基础集X而言）的补集或余集记作 我们应当提醒读者，补集
．
的定义与基础集的选取有关．所以在
研究某一个问题时，若用到补集这个概念，在整个工作过程中基础集必须保持不变．
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定理1.2.3 设X是一个基础集．若A，B为X的子集，则
以上证明均只须用到集合的各种定义,此处不证,略去. 作业:
熟记这两节的各种公式.
掌握证明两个集合A=B与AB的基本方法 （
§1.3 关 系
我们从前在数学的各种科目中学过诸如函数、次序、运算，以及等价等种种概念，它们的一个共同的特点在于给出了某些给定集合的元素之间的某种联系．为了明确地定义它们，我们先定义“关系”，而为了定义关系，又必需先有两个集合的笛卡儿积这个概念． 定义1.3.1 设X和Y是两个集合．集合 {（x，y）|x∈X，y∈Y}
称为X与Y的笛卡儿积，记作X×Y，读为X叉乘Y．其中(x，y)是一个有序偶，x称为（x，y）的第一个坐标，y称为（x，y）的第二个坐标．X称为X×Y的第一个坐标集，Y称为X×Y的第二个坐标集．集合X与自身的笛卡儿积X×X称为X的2重（笛卡儿）积，通常简单记作
．
）
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有点儿不幸的是我们用于有序偶的记号和用于“开区间”的记号是一样的，有时容易混淆．因此在可能发生混淆的情形下应当加以说明，以避免误解．
给定两个集合，通过取它们的笛卡儿积以得到一个新的集合，这个办法对于读者并不陌生．以前学过的数学中通过实数集合构作复数集合，通过直线构作平面时，用的都是这个办法．
我们应当注意，一般说来集合X与集合Y的笛卡儿积X×Y完全不同于集合Y与集合X的笛卡儿积Y×X．
定义1.3.3 设X，Y是两个集合．如果R是X与Y的笛卡儿积X×Y的一个子集，即RX×Y，则称R是从X到Y的一个关系．
定义1.3.4 设R是从集合X到集合Y的一个关系，即RX×Y．如果(x，y）∈R，则我们称x与y是R相关的，并且记作xRy．如果AX，则Y的子集
{y∈Y|存在x∈A使得xRy}
称为集合A对于关系R而言的象集，或者简单地称为集合A的象集，或者称为集合A的R象，并且记作R（A），R（X）称为关系R的值域． 关系的概念是十分广泛的．读者很快便会看到，以前在另外的数学学科中学过的函数（映射），等价，序，运算等等概念都是关系的特例．这里有两个特别简单的从集合X到集合Y的关系，一个是X×Y本身，另一个是空集?．请读者自己对它们进行简单的考查．
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定义1.3.5 设R是从集合X到集合Y的一个关系，即RX×Y．这时笛卡儿积Y×X的子集 {（y，x）∈Y×X|xRy}
是从集合Y到集合X的一个关系，我们称它为关系R的逆，并且记作．如果BY，X的子集
（B）是集合B的
象,我们也常称它为
集合B对于关系R而言的原象，或者集合B的R原象．特别，关系的值域
（Y）也称为关系R的定义域．
定义1.3.6 设R是从某个X到集合Y的一个关系，即RX×Y，S是从集合y到集合Z的一个关系，即SY×Z．集合{（x，z）∈X×Y|存在y∈Y使得xRy并且ySz}是笛卡儿积X×Z的一个子集，即从集合X到集合Z的一个关系，此关系称为关系R与关系S的复合或积，记作SR．
定理1.3.1 设R是从集合X到集合Y的一个关系，S是从集合Y到集合Z的一个关系，T是从集合Z到集合U的一个关系．则：
证明(略)
定理1.3.2 设R是从集合X到集合Y的一个关系，S是从某个Y到集合Z的一个关系．则对于X的任意两个子集A和B，我们有： （1）R（A∪B）＝R（A）∪R（B）； （2）R（A∩B）R（A）∩R（B）；
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