§1.5 映射
数学分析中的函数概念，群论中的同态概念，线性代数中的线性变换概念等等都是读者所熟知的概念．这些概念的精确定义事实上都有赖于本节中所讨论的映射概念．
定义1.5.1 设F是从集合X到集合Y的一个关系．如果对于每一个x∈X存在惟一的一个y∈Y使得xFy，则称F是从X到Y的一个映射，并且记作F：X→Y．换言之，F是一个映射，如果对于每一个x∈X： （1）存在y∈Y，使得xFy； （2）如果对于
∈Y有
和
，则
．
定义1.5.2 设X和Y是两个集合，F：X→Y(读做F是从X到Y的一个映射)．对于每一个x∈X，使得xFy的唯一的那个y∈Y称为x的象或值，记作F（x）；对于每一个y∈Y，如果x∈X使得xFy（即y是x的象），则称x是y的一个原象（注意：y∈Y可以没有原象，也可以有不止一个原象）．
由于映射本身便是关系，因此，如果F是从集合X到集合Y的一个映射，那么：
（1）对于任何AX，象F（A）有定义，并且 F(A)={F(x)|x∈A} （2）对于任何BY，原象（B）={x∈X|F(x)∈B}(注意:
（B）有定义，并且 (x)与
({x})的异同,前者不一
定有意义,而后者总存在；前者表示元素，后者表示集合)
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（3）如果Z也是一个集合并且G：Y→Z，则关系的复合GF作为一个从X到Z的关系有定义； （4）
作为从Y到X的一个关系有定义，但一般说来
不是一
个从Y到X的映射(这要看F是否是一一映射)；
（5）F的定义域有定义，并且它就是X；(意味着X中的每个元素都必须有象)
（6）F的值域有定义，并且它就是F（X）．(F(X)不一定充满Y) 定理1.5.1 设X，Y和Z都是集合．如果F：X→Y和G：Y→Z，则GF：X→Z；并且对于任何x∈X，有
GF（x）＝G(F(x))(这实际上是映射的积的本质)
证明(略)(但要理解上式等号左右两边的不同含义,前者是两个映射的积（也是一个映射）作用在x上,后者是F先作用在x上,然后G再作用在F(x)上)．
今后我们常用小写字母f，g，h，??表示映射．
定理1.5.2 设X和Y是两个集合，f:X→Y．如果A，BY 则 （1） （2） （3）
（A∪B）＝（A∩B）＝（A-B）＝
（A）∪（A）∩（A）-（B）； （B）； （B）．
简言之，映射的原象保持集合的并，交，差运算． 证明(略)．
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定义1.5.3 设X和Y是两个集合，X→Y．如果Y中的每一个点都有原象（即f的值域为Y，亦即f（X）=Y），则称f是一个满射，或者称f为一个从X到Y上的映射；如果X中不同的点的象是Y中不同的点（即对于任何
，如果
，则有
，则称f
是一个单射；如果f既是一个单射又是一个满射，则称f为一个既单且满的映射，或者一一映射．
如果f（X）是一个单点集，则称f是一个常值映射，并且当 f（X）={y}时，我们也说f是一个取常值y的映射．
易见，集合X中的恒同关系△（X）是从X到X的一个一一映射，我们也常称之为（集合X上的）恒同映射或恒同，有时也称之为单位映射，并且也常用记号或i：X→X来表示它．根据定义易见，对于任何x∈X，有i(x)=x．概言之，恒同映射便是把每一个点映为这个点自身的映射．
由于下面的这个定理，一一映射也称为可逆映射．
定理1.5.3 设X和Y是两个集合．又设f:X→Y．如果f是一个一一映射，则
便是一个从Y到X的映射（因此我们可以写
：Y→X），并且是既单且满的．此外我们还有：
和
证明(略)
定理1.5.4 设X，Y和Z都是集合，f:X→Y，g：Y→Z．如果f和g都是单射，则gof:X→Z也是单射；如果f和g都是满射，则g
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f:X→Z也是满射．因此，如果f和g都是一一映射，则gf:X→Z也是一一映射．
这个定理的证明留给读者．
定义1.5.4 设X和Y是两个集合，A是X的一个子集．映射f:X→Y和g：A→Y如果满足条件g f即对于任何a∈A有f（a）=g（a），则称g是f的限制，也称f是g的一个扩张，记作 恒同映射：X→X在X的子集A上的限制我们有对于任何a∈A，
(a)=a．
．特别地，
：A→X称为内射．这时
将映射定义作为一种特别的关系，从理论上来说是十分清晰的．这样做的本意在于使得在我们的理论系统中除了“集合”和“元素”不再有任何未经定义的对象．如果每一次定义一个映射都要将这个映射写成它的定义域与值域的笛卡儿积的一个子集，这毕竟是件麻烦事；因此我们在定义映射时宁愿采用我们从前惯用的办法：为定义域中的每一个点指定值域中的一个点作为它的象．以下我们定义往后经常要用到的两个映射作为例子． 定义1.5.5 设
是n＞0个集合，1?i?n．从笛卡儿积
的投射（或称第i个投射）：
到它的第i个坐标集
X→
定义为对于每一个
定义1.5.6 设R是集合X中的一个等价关系．从集合X到它的商集X/R的自然投射：p:X→X/R定义为对于每一个x∈X，p（x）= 作业:
．
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熟练掌握本节的所有定义与定理； 注意定理1.3.2(2)与定理1.5.2的区别； 熟练记忆P23习题1. 2与定理1.5.2．
§1.6 集族及其运算
设Γ是一个集合．如果对于每一个γ∈Γ，指定了一个集合A，我们就说给定了一个有标集族干脆说给定了一个集族标集．
定理1.6.2 设 （1）对于任何
（2）分配律：
是一个非空的有标集族，A是一个集合．则 ，
，或者在不至于引起混淆的情形下
的指
，同时Γ称为（有标）集族
（3）DeMorgan律：
证明（略） 如果集族
满足条件：对于每一个γ∈Γ，都是某一个集
合X的子集，这时我们称这个集族为集合X的一个子集族． 以下的两个定理讨论关系和映射与集族运算之间的关联．
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