离散型随机变量的分布列综合题
1.某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖。卡片用后入回盒子，下一位参加者继续重复进行。
（Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人答：我只知道，从
盒中抽取两张都是“世博会会徽”卡的概率是
5，求抽奖者获奖的概率； 18 （Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用?表示获奖的人数，求?的分布列及E?，D?的值。 解：（I）设“世博会会徽”卡有n张，
2Cn5由2?,得n=5， C9182C41故“海宝”卡有4张，抽奖者获奖的概率为2?
C96…………5分
kk4?k （II）?~B(4,)的分布列为P(??k)?C4()()(k?0,1,2,3,4)
161656 ? P 0 01054C4()()661 11153C4()()662 21252C4()()663 31351C4()()664 41450C4()()66 …………12分
?E??4?1215?,D??4?(1?)?. 6369
2.某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K和D两个动作。比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩。 假设每个运动员完成每个系列中的K和D两个动作的得分是相互独立的。根据赛前训练的统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列中的K和D两个动作的情况如下表： 表1：甲系列 表2：乙系列
动作
得分
概率
00 作
10 34K动D动作
作
80 1 4动作 得分
0 概率
K动D动作
40 34190 91050 11020
1 49101 10现该运动员最后一个出场，之前其他运动员的最高得分为115分。
（1） 若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列？说明理由。
并求其获得第一名的概率。
（2） 若该运动员选择乙系列，求其成绩?的分布列及数学期望E?.
解.（1）应选择甲系列，因为甲系列最高可得到140分，而乙系列最高只可得到110分，不
可能得第一名。 33133 该运动员获得第一名的概率p?????.
44444 （2）?的可能取值有50,70,90,110。
p???110?? p???70??
9981919??;p???90????; 10101001010100919111??;p???50????. 10101001010100?
110 81 10090 9 10070 9 10050 1 100P
3．在本次考试中共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的。评分标准规定：‘每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分。’某考生每道题都给出一个答案。某考生已确定有9道题的答案是正确的，而其余题中，有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道可以判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜。试求出该考生：
（Ⅰ）选择题得60分的概率； （Ⅱ）选择题所得分数?的数学期望
解：（1）得分为60分，12道题必须全做对．在其余的3道题中，有1道题答对的概率为
1，211，还有1道答对的概率为， 341111.，所以得分为60分的概率为： P????。。。。。。5分
23424有1道题答对的概率为
（2）依题意，该考生得分的范围为｛45，50，55，60｝. ，。。。。。。6分 得分为45分表示只做对了9道题，其余各题都做错，
12361????. ，。。。。。。7分 23448412311312111.，得分为50分的概率为： P2??????????。。。。。。8分
23423423424所以概率为P1?同理求得得分为55分的概率为：P3?得分为60分的概率为：P4?所以得分?的分布列为
6. ，。。。。。。9分 241. ，。。。。。。10分 2460 ? 45 50 55 1161 P 24242411161605?55??60??数学期望E??45??50?。。。。。。12分
424242412
4．某设区举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案，参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖。
（I）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说：我只知道若从盒总抽两张都不是“海宝”卡的概率是
1 41，求抽奖者获奖的概率； 3 （Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用?表示获奖的人数，求? 的分布列及E?,D?。
Cn21解：（I）设“世博会会徽”卡有n张，由2=，得n?6……………（2分）
C103 故“海宝”卡有4张，…………………………（3分）
2C42抽奖者获奖的概率为2?…………………………（5分）
C1015（Ⅱ）?～B(4,2k2k134?k)，?的分布列为p(??k)?C4()()(k?0,1,2,3,4)或 1515150 1 1C4?? 2 222132C4()()15153 323131C4()()15154 p ∴E??4?
( 134)152133?()1515( 24)15 2822104?,D??4??(1?)?…………………………（12分） 151515152255．某地区举办科技创新大赛，有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别 从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为x，“实用性”得分为y，统计结果如下表：
作品数量 y 1分 1分 2分 3分 4分 5分 1 1 2 1 0 2分 3 0 1 实用性 3分 1 7 0 6 1 4分 0 5 9 0 1 5分 1 1 3 a 3 x 创 新 性 b 0 （Ⅰ）求“创新性为4分且实用性为3分”的概率； （Ⅱ）若“实用性”得分的数学期望为
167，求a、b的值． 506?0.12． …………4分 50解：（Ⅰ）从表中可以看出，“创新性为4分且实用性为3分”的作品数量为6件，
∴“创新性为4分且实用性为3分”的概率为
（Ⅱ）由表可知“实用性”得分y有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，
且每个等级分别有5件，b?4件，15件，15件，a?8件． …………5分 ∴“实用性”得分y的分布列为：
y p 1 2 3 4 5 1515a?8 505050167又∵“实用性”得分的数学期望为，
505b?41515a?8167?2??3??4??5??∴1?． ……………10分 505050505050∵作品数量共有50件，∴a?b?3
解得a?1，b?2． ……………………13分
6．一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1,2,3,4,5,6.
（Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；
（Ⅱ）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率；
（Ⅲ）若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列. 解：（Ⅰ）设先后两次从袋中取出球的编号为m,n，则两次取球的编号的一切可能结果(m,n)有6?6?36种， ………………2分
其中和为6的结果有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)，共5种，
5 50b?4 50则所求概率为
5. ………………4分 361C51（Ⅱ）每次从袋中随机抽取2个球,抽到编号为6的球的概率p?2?.
C63………………6分
所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为
122C32p2(1?p)?3?()2()?. ………………8分
339（Ⅲ）随机变量X所有可能的取值为3,4,5,6. ………………9分
3C31， P(X?3)?3?C620C323， P(X?4)?3?C6202C463P(X?5)?3??，
C62010C52101P(X?6)?3??. ………………12分
C6202所以，随机变量X的分布列为:
X P 3 6 4 5 1331 2020102………………13分
7．甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方块4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。 （1）设(i,j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况 （2）若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜。你认为此游戏是否公平？请说明你的理由.
解：（1）甲、乙二人抽到的牌的所有情况为（2，3），（2，4），（2，4），（3，2），（3，4），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4），（4，2），（4，3），（4，4），共12种不同情况 ………4分
（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4.因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为
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