道提出了二类相变的普遍理论，之后外斯提出分子场理论，以及描述合金有序化的布喇格－威廉姆斯理论，都是平均场理论的演化与推广[21]。
对于平均场理论，在物理上和数学上具有一些差异。数学上，平均场的适用范围只能是完全图，或者说系统结构是充分混杂的、随机的（well-mixed）。在这种情况下，系统中的任何一个个体以等可能接触其他个体。所以，对于明确的不满足完全图情况的问题，数学家只能坚守数学的严格性而另寻他法；而在物理上，平均场理论与其说是一种方法，不如说是一种思想。其实统计物理的研究目的就是期望对宏观的热力学现象给予合理的微观理论。较为一致的认识是：系统中个体的局部相互作用可以产生宏观层面较为稳定的行为。所以，物理学家坚信，即便不满足完全图的假设，但既然这种“局部”到“整体”的作用得以实现，那么个体之间的局部作用相较于“全局”的作用是可以忽略不计的。
如上所述，平均场理论应用具有一定的适用条件。其实复杂网络，抽象来看，就是一大类特殊的图，而且，肯定不是完全图。早在复杂网络兴起之前，理论科学界就知道“空间结构”对于系统动力学行为的影响。最典型的，比如格点图上的Ising模型[35]，也正是对于二维Ising模型相变问题的研究，平均场的方法在这里露出了明显的破绽。因而研究平均场理论在复杂网络中的应用，在有些条件下可以应用，而在有些条件下却力不从心。寻求平均场理论在计算机网络研究中的有效应用，则成为网络科学研究者们迫切的希望。 1.2.2 网络科学发展
1998年6月，两位年轻的物理学家（D. J. Watts 和 S. H. Strogatz）在Nature上发表了关于小世界（small-world）网络的论文“Collective Dynamics of ‘Small World’ Networks”。1999年10月，又有两位年轻的物理学家（A. L. Barabási和R. Albert）在Science发表了关于无尺度（scare-free）网络的论文“Emergence of Scaling in Random Networks”。这两篇论文引发了关于复杂网络的研究热潮。而从这两篇文章导致了一门新的学科的兴起，那就是网络科学。至今(2012年4月)为止，D. J. Watts和S. H. Strogatz的论文被SCI收录的论文引用6179次；A. L. Barabási和R. Albert的论文被引用6540次。
日常生活中，交通网、电力网、人际关系网等都可看作是网络，“图论”作为数学的一个分支，一直被用来对这些系统进行研究。上述两篇文章的重要之处在于作者发现许多实际网络具有一些共同的拓扑统计性质，即“小世界性”和“无
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标度性”。这些性质既不同于规则网络，也不同于随机网络，它们的复杂性位于规则与随机之间，所以大家把实际网络称为“复杂网络”。
所谓小世界性是指实际网络具有比规则网络小得多的平均节点间距离和比随机网络大得多的平均聚集系数；而无标度性则是指实际网络中节点邻边数取一个定值的概率分布函数是幂函数。论文的作者提出了解释这些独特规律的网络演化模型，而且运用统计物理学方法从这些模型解析地得出了这些独特规律。这些模型的思想简单明白、直观合理。产生小世界性的机制就是一部分基本单元之间相互作用的远程性、跳跃性和随机性；产生无标度性是建立在相互作用的“偏好连接”（或者称为“优选”）性上的。这是第一次把统计物理学的思想和方法引进网络或者图论的研究。
对网络科学的研究的脚步，一直没有停止。2000 年Dorogovtsev 和Mendes建议在BA 无标度模型中增加对节点活性随年龄衰减的考虑[15]。2001年他们又建议在BA 无标度模型中考虑节点数目加速增加的情况[16]。2002 年Liu 和Lai 等人提出在BA 无标度模型中考虑新节点在选择旧节点时部分优选、部分随机选择[33]，并且做出了平均场解析，他们用主方程方法解析了非线性优选的BA 无标度模型。在2003 年 Li和Chen提出了一个局域世界模型，重要的思想是优选需要网络的全局信息，而一个节点往往只可能掌握它所在附近的局域信息，因此，合理的演化机制是节点在一个局域中优选，而哪些节点构成局域世界则是随机的，也可用平均场方法作了解析。2002 年Chneg、Wang 和Ouyang提出了一个包含两类不同节点和两类不同边的网络演化模型，并且推导出平均场解析解。
前面所说的Nature和Science上发表的那两篇论文在物理学界引发了地震，使许多物理学家，尤其是统计物理学家认识到实际系统使用网络描述的重要性、统计物理学进入网络研究并大有作为的可能性、以及网络描述作为复杂系统研究工具的可能光辉前景。
近十年来，复杂网络研究的论文车载斗量。然而，要达到物理学家寻求复杂系统动力学理论框架的目标，复杂网络研究还任重而道远。
首先，复杂网络研究依赖的主要数学基础理论——“图论”的主流还很难与物理学动力学描述的要求挂钩。从1736年诞生开始，图论研究就集中于位于某个平面（或二维曲面）上的一些基本单元之间的位置关系、这些位置之间的某种联系、以及图上某种量的传播等问题。这种对系统基本单元及其相互作用的描述是
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“静态”和“平面”的，没有提供对相互作用丰富特性及其随时间演化的描述方法，更缺乏总结这些相互作用特征与规律，从而预言系统行为的手段。
其次，复杂网络这样的研究对象对于统计物理学也是新问题。统计物理学还不能提供针对这类对象的最有效思想、方法和工具。目前的研究在借用一些多年来对许多类研究对象行之有效的方法，例如平均场理论、主方程、率方程、生成函数、最大似然估计等。
1.3 研究内容及主要贡献
本论文在分析网络结构拓扑的基础上，结合现实生活中复杂网络如微博网络等实例，研究了网络拓扑结构建模、网络模型优化、以及如何利用不同的模型对真实网络的不同情况进行分析、验证。论文具体研究内容如下：
(1) 阐述平均场理论的基本概念，以及其在计算机网络中的应用范围，并详细描述其应用方法；
(2) 研究网络科学的发展历程，并详细阐述网络拓扑结构模型中的典型代表，如随机网络中的ER模型、小世界网络模型以及无尺度网络中的BA模型，分析其建模方法及其平均场解析过程；
(3) 对新浪微博网络用户关系中用户粉丝、用户关注和用户互粉数进行统计，分析其度序列分布规律，提取出其拓扑结构符合的网络模型；
(4) 分析传统网络模型的局限性，在原有ER模型上做模型拓展，并增加BA模型的影响因素，对该模型进行优化，并证明优化的实用性。
论文主要贡献总结如下：
(1) 阐述了平均场理论在计算机网络中的应用范围，实现用平均场对恶意软件传播模型进行了仿真试验，并详细描述了其应用方法；
(2) 研究了随机网络中的ER模型、小世界网络模型以及无尺度网络中的BA模型，并给出了详细的建模方法及其平均场解析过程；
(3) 对新浪微博网络用户关系进行了细粒度地统计分析，提取出其拓扑结构符合的网络模型，并对该数据结果做出了详细地解释；
(4) 提出了一种ER模型的拓展模型，并给出了BA模型的优化方法，并证明了优化的实用性。
1.4 论文组织结构
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本论文共分为六章，具体安排如下：
第一章为绪论部分，主要描述了本次论文的研究背景，相关领域主要研究现状，以及本论文的研究内容和主要贡献；
第二章介绍了平均场理论的基本思想，详细介绍了平均场理论在计算要网络中的应用，并对平均场在恶意软件传播模型的模拟应用进行了仿真实验，揭示了平均场理论的实用性以及适用范围。
第三章给出了平均场理论在网络拓扑结构研究方面的建模方法，这部分主要介绍了多种网络拓扑结构如规则网络、随机网络、小世界网络、无尺度网络及其相应模型，并阐述了如何运用平均场方程，对模型参数进行分析与解算的过程；
第四章详细给出了实验方法和数据，通过对现行流行的在线社交网络新浪微博网络进行了数据统计与分析，细致的分析了用户粉丝、互粉以及用户关注数三方面的数据分布规律；
第五章提出了“两极分化”及“反弹效应”两个重要概念，并针对新浪微博等现实网络应用，考虑到网络拓扑演化过程中的影响因素，增加了多个可分析性的影响因子，分别对ER模型和BA模型进行了扩展和优化；
第六章对本文工作做了详尽的总结，并对下一步工作进行了展望。
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第2章 平均场理论及其应用
2.1 平均场理论概述
统计物理学的平均场理论是一种研究系统热力学性质的近似方法，源于物理学中对大量对等物体相互关系的研究，也就是用一个作用来等价地刻画所有其他物体对该物体的作用，简化分析过程。物体相互作用的过程可以用马尔科夫链分析，但当物体状态较多、物体数量巨大时马尔科夫链模型就相当复杂，难以求解；而用平均场模型就能很好地对这个过程进行近似，且效果不错。
尽管由平均场理论所得到的结果是近似的，但由于它是基于对问题的高度概括和抽象，因而由它所推导出来的结论更有普适的意义。对于一个不为人所熟悉的复杂系统，平均场理论往往是揭示它的本质属性的突破口，因此它成为了研究复杂网络系统的一个有力工具，在复杂网络系统的各种研究方法中占有重要的地位。
2.1.1 平均场理论方法的基本思想
平均场理论，指的是对于一个粒子（Object），这个粒子受到其它粒子的相互作用，从全局的角度上看，可以把该粒子在平均场中受到的相互作用进行等价化。也就是说，平均场理论是把环境对物体的作用进行集体处理，以平均作用效果替代单个作用效果的加和的方法。用平均场的方法，能够简化对复杂问题如的研究，把一个高次、多维的难以求解的问题如马尔可夫过程[26]等转化为一个低维问题，该过程，相当于将其它粒子对该粒子的作用进行积分后，再与该粒子发生作用。在统计物理学中，多用于运动状态混乱的气体，以及结构复杂的固体、液体的研究中，并构成了能带论、现代固体理论、量子多体理论等理论的重要基础。
尽管平均场理论带来了研究的便利，但是由于积分过程会掩盖掉环境中个别影响因素的涨落，因此在非平衡过程，强关联系统，以及瞬态过程中，平均场理论会带来一定的误差，而不同的研究课题并不能滥用该理论，这是在实际应用中需要注意的地方。
在量子力学问题中，平均场理论是量子多体理论的零级近似。量子力学中的平均场理论的基本思想是：存在相互作用的多粒子系统，每个粒子都受到周围其他粒子的作用，这些周围粒子的相互作用的迭加并对其粒子密度分布（粒子云）
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