2014年11月06日修改
11.随机变量X服从正态分布N(1720，282)。试计算：P(1400 P（1400 2 1600?1720）-Φ（1400?1720）= 0.2044 2822821600?1720P（1600 282282P（2000 2000?1720）=0.1611 2821600?1720??1400?1720P(1400?X?1600)?P??Z??=0.2044 282282??1800?1720??1600?1720P(1600?X?1800)?P??Z??=0.2767 282282???2000?1720?P(2000?X)?P??Z?=0.1611 282??2212.若随机变量X服从自由度等于5的??分布，求P(3 解： P(3?X?11)?0.70?0.05?0.65 (P(3?X?11)?0.99?0.30?0.69 (X~?2(5)) X~?2(10)) 13.若随机变量X服从自由度为f1=4，f2=5的F－分布，求P(X >11)的近似数值；若X服从自由度为f1=5， f2=6的F－分布，求P(X<5)的近似值。 解：当f1=4、f2=5时 P（X>11）=0.01；当f1=5、f2=6时 P（X<5）=1-0.05=0.95 P(X?11)?0.01 (P(X?5)?1?P(X?5)?1?0.05?0.95 (X~F(4,5)) X~F(5,6)) 14.若随机变量X服从自由度为10的t–分布，求P(X>3.169)；若X服从自由度为5的t –分布,求P(X<–2.571)。 解： P(X?3.169)?0.005 (X~t(10)) P(X??2.571)?0.025 (X~t(5)) 15.同时掷两颗骰子一次，求出现点数和的数学期望和方差。 解： X=xi P（X=xi） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 362 363 364 365 366 365 364 363 362 361 36 16 2014年11月06日修改 E（X）=?xipi =2*1+3*2+4*3+5*4+6*5+7*6+8*5+9*4+10*3+11*2+12*1=252=7 363636363636363636363636V（X）=??xi-E?X??2pi 36363636=?2?7?2*1+?3?7?2*2+?4?7?2*3+?5?7?2*4+?6?7?2*5+?7?7?2*6+?8?7?2*5+?9?7?2*4+ 36363636?10?7?2* 363+?11?7?2*2+?12?7?2*1 363636=210=5.833 16.已知100个产品中有10个次品。现从中不放回简单随机抽取5次。求抽到次品数目的数学期望和方差。 解：①概率函数 抽到次品的数目（记做X）服从超几何分布 P?X?m??mn?mCMCN?MnCN (m = 0，1，2，…，n ) 在本题中，N=100，M=10，n=5，代入上式得 P?X?m??m5?mC10C905C100?10!90!5!95!?? m!?10?m?!?5?m?!?85?m?!100!令m = 0，1，2，3，4，5，分别代入上式，算出相应的概率，列成下列概率分布表 X?xi P(X?xi) 0.583 0.340 0.070 0.007 近似为0 近似为0 0 1 2 3 4 5 ②数学期望和方差 根据上面的分布列，计算X的数学期望和方差 X?xi p(xi) 0.583 0.340 0.070 0.007 近似为0 近似为0 1 xip(xi) xi2p(xi) 0 1 2 3 4 5 合 计 0 0.340 0.140 0.021 0 0 0.501 0 0.340 0.280 0.063 0 0 0.683 17 2014年11月06日修改 E?X???xip?xi??0.501 iV?X????xi?Exi?2p?xi???xi2p?xi???Exi?2?0.683?0.5012?0.432 ii 17.假设接受一批产品时，用放回方式进行随机抽检，每次抽取1件，抽取次数是产品总数的一半。若不合格产品不超过2%，则接收。假设该批产品共100件，其中有5件不合格品，试计算该批产品经检验被接受的概率。 解： 0500+C1500.05（1?0.05）0.05（1?0.05）C50149=0.0769+0.2025=0.2794 三、证明题 1.如果事件A在一次试验中发生的概率是p，不发生的概率是q，p+q=1。试证明在n次独立重复试验中该事件出现次数X的数学期望是np，方差是npq。 证： nE(X)??kP(X?k)??k?()pkqn?k kk?0k?0 ?nnn!pkqn?k ?k?1(k?1)!(n?k)!n ?np??(k?1nn?1k?1(n?1)?(k?1))pq k?1 ?np?(t?0n?1n?1t(n?1)?t)pq tn?1 ?np?(p?q) ?np?1 ?np D(X)?E(X2)??E(X)? 2 ?E?X(X?1)??E(X)??E(X)? 2 ?E?X(X?1)??np?np 22因E?X(X?1)??nkn?kk(k?1)?()pq ?kk?0n!pkqn?k k?2(k?2)!(n?k)!18 nn?? 2014年11月06日修改 n?2t?0?n(n?1)p2?(n?2tn?2?t)pq t?n(n?1)p2?(p?q)n?2 ?n(n?1)p2 于是D(X)?n(n?1)p?np?np?np?np?npq 2.随机变量X1,X2，?，Xn独立，并且服从同一分布，数学期望为?，方差?2。求这n个随机变量的简单算术平均数X的数学期望和方差。 证： ?1n?1n1???E?Xi??n??? E(X)?E?X?i?n?n?i?1?ni?1?1n?1?V(X)?V?X?n?i??n2?i?1?2222?V?Xi??n2n?i?1n12??2n 3.随机变量X1,X2，?，Xn独立，并且服从同一分布，数学期望为?，方差为?2。这n个随机变量的简单算术平均数为X。求Xi?X的方差。 证： 1nD(Xi?X)?D(Xi??Xj) nj?1nXn?1j ?D(Xi??) nnj?1j?i ?(n?122n?12)??2? nn ? n?12?n 19 2014年11月06日修改 第五章 抽样分布与参数估计 一、选择题（可选多项） 1．以下属于概率抽样的有（ B、C ）。 A.网民自由参加的网上调查 B.体育彩票摇奖 C.按随机原则组织的农产量调查 D.街头随意的采访 2．样本统计量的标准差与抽样极限误差间的关系是（ D ）。 A.样本统计量的标准差大于极限误差 B.样本统计量的标准差等于极限误差 C.样本统计量的标准差小于极限误差 D.样本统计量的标准差可能大于、等于或小于极限误差 3．在其它条件不变的情况下，如果重复抽样的极限误差缩小为原来的二分之一，则样本容量（ A ）。 A.扩大为原来的4倍 B. 扩大为原来的2倍 C.缩小为原来的1/2 D. 缩小为原来的1/4 4．当样本单位数充分大时，样本估计量充分地靠近总体指标的可能性趋于1，称为抽样估计的（ B ）。 A.无偏性 B.一致性 C.有效性 D.充分性 5．抽样估计的误差（ A、C ）。 A.是不可避免要产生的 B.是可以通过改进调查方法消除的 C.是可以事先计算的 D.只有调查结束之后才能计算 二、计算题 1．根据长期实验，飞机的最大飞行速度服从正态分布。现对某新型飞机进行了15次试飞，测得各次试飞时的最大飞行速度（米/秒）为： 422.2 417.2 425.6 425.8 423.1 418.7 428.2 438.3 434.0 412.3 431.5 413.5 441.3 423.0 420.3 试对该飞机最大飞行速度的数学期望值进行区间估计（置信概率0.95）。 解：样本平均数 x=425（米/秒） S8.488?2.1916（米/秒） =15nt0.05/2(15?1)?2.1448 S=2.1448×2.1916=4.7005（米/秒） ?=t?/2(n-1)nSx=所求μ的置信区间为：425-4.7005≤μ≤425+4.7005，即[420.30，429.70]（米/秒）。 2．自动车床加工某种零件，零件的长度服从正态分布。现在加工过程中抽取16件，测得长度值（单位：毫米）为： 12.14 12.12 12.01 12.28 12.09 12.16 12.03 12.01 12.06 12.13 12.07 12.11 12.08 12.01 12.03 12.06 试对该车床加工该种零件长度值的数学期望进行区间估计（置信概率0.95）。 解：因为零件长度服从正态分布，95%的置信区间为： SS??t?/2?n?1?,X?t?/2?n?1?? ?X?nn??其中，X?12.08687, s?0.07068416,n?1?15,t0.025?15??2.1315 20