一步预测协方差矩阵：
P(k+1/k)E{X(k+1/k)XT(k+1/k)/Zk}=F(k)P(k/k)FT(k)+G(k)Q(k)G(k)T (2.3.10)
P(k/k)E{X(k/k)XT(k/k)/Zk}其中
Zk{Z(j),j=1,2,...k} (2.3.11)
分别为k时刻传感器的状态估计误差协方差和累计观测量。 预测观测量（量测预测值）：
?(k+1/k) (2.3.12) Z(k+1/k)=H(k+1)X观测向量的预测误差为：
Z(k+1/k)Z(k+1)-Z(k+1/k)=H(k+1)X(k+1/k)+W(k+1)观测向量的预测误差协方差为（新息协方差矩阵）：
(2.3.13)
S(k+1)=E{Z(k+1/k)ZT(k+1/k)/Zk}H(k+1)P(k+1/k)HT(k+1)+R(k+1) (2.3.14)
滤波器增益矩阵定义为：
K(k+1)=P(k+1/k)HT(k+1)S-1(k+1) （2.3.15)
另外一种形式为：
K(k+1)=P(k+1/k+1)H(k+1)R(k+1) (2.3.16)
于是Kalman滤波算法的状态更新方程（状态滤波值）：
T-1X(k+1/k+1)=X(k+1/k)+K(k+1)v(k+1) (2.3.17)
其中：
v(k+1)Z(k+1/k)=Z(k+1)-Z(k+1/k)=Z(k+1)-H(k+1)X(k+1/k)称作新息或量测残差
滤波协方差矩阵：
(2.3.18)
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P(k+1/k+1)=P(k+1/k)-P(k+1/k)HT(k+1)S-1(k+1)H(k+1)P(k+1/k) (2.3.19)
=P(k+1/k)-K(k+1)S(k+1)KT(k+1) (2.3.20)=[I-K(k+1)H(k+1)]P(k+1/k) (2.3.21)
=[I-K(k+1)H(k+1)]P(k+1/k)[I-K(k+1)H(k+1)]T+K(k+1)R(k+1)KT(k+1)事实上，用式和(2.3.16)式得到
(2.3.22)
P-1(k+1/k+1),P-1(k+1/k)同乘(2.3.21)式两端，并利用(2.3.15)
P-1(k+1/k)=P-1(k+1/k+1)-HT(k+1)R-1(k+1)H(k+1) (2.3.23)
即
P-1(k+1/k+1)=P-1(k+1/k)+HT(k+1)R-1(k+1)H(k+1) (2.3.24)
于是方程表达式(2.3.8), (2.3.10), (2.3.16), (2.3.17)和
P(k+1/k+1)便构成了
Kalman滤波算法预测和状态估计的基本方程。
第三章多传感器信息融合系统中的状态估计
3.1引言
由第1章的描述可知，在多传感器信息融合系统中，就位置（空间）级融合系统的
结构而论 有集中式、分布式结构。所谓信息融合主要有两项任务，其一是点迹-航迹互联和／或航迹与航迹关联问题，其二是目标状态的估计和/或航迹融合问题。在第4章中研究航迹关联算法，本章中，3．2节描述线性离散集中式多传感器融合系统中的状态估计，3．3节讨论线性离散分布式多传感器融合系统中的状态估计。
3.2集中式多传感器信息融合系统中的状态估计 3.2.1单传感器的状态估计
一般的监视和跟踪系统中，其目标运动和传感器测量方程都是线性的，过程与测量噪声是相互独立的，并且系统模型中不含控制项。为了讨论问题的方便，下面再次描述目标
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运动、传感器测量和单传感器Kalman滤波方程。
设在离散化状态方程的基础上目标运动规律可表示为:
X(k?1)??(k)X(k)?G(k)V(k) (3.1)
其中，X(k)?[x(k) y(k) z(k)?]'?R是k时刻目标的状态向量，V(k)?R是
nh零均值白高斯过程噪声向量，?(k)?Rn,n是状态转移矩阵，G(k)?Rn,h是过程噪声分
布矩阵。初始状态X（0）是均值为μ和协方差矩阵为P0的一个高斯随机向量，且
cov{X(0),V(k)}?0。
定义两个集合，设
U?{1,2,...,j,...,M},Uj?{1,2,...,i,...,Nj} (3.2)
其中，M是局部节点数，N j是局部节点j的传感器数。局部节点j传感器i的测量方程可表示为
Zij(k?1)?Hij(k?1)X(k?1)?Wij(k?1);i?Uj,j?U (3.3)
其中，Zij(k?1)?Rm,Hij(k?1)是测量矩阵，Wij(k?1)?Rm是均值为零相互独
立的高斯序列，且
??V(k)???Q(k)jE???Wj(k)??[V(l),Wi(l)]???0???i??Rij(k)是正定阵，同时cov{X(0),Wij(k)}?0。
0??k,l (3.4) ?jRi(k)?现在考虑局部节点估计与传感器测量位于不同坐标系的情况。设传感器i在局部节点笛卡尔坐标系中的三个位置分量为?ij?[aijbijcij]'，并假定目标的位置坐标分量（x，y，z轴分量）包含在测量向量中。于是，令
?ij??ij???? (3.5)
0??n?1为传感器i的状态坐标偏移量在局部节点j笛卡尔坐标系中的增广向量。那么传感器i在局
部节点j笛卡尔坐标系中k+1时刻的观测为
Yij(k?1)?Zij(k?1)?Hij(k?1)?ij;i?Uj,j?U (3.6)
由2．3节的结果可知，局部节点j中的第i个传感器的Kalman滤波方程为
?j(k?1|k?1)?X?j(k?1|k)?Pj(k?1|k?1)Hj(k?1)'Rj(k?1)?1Xiiiii(3.7) jjj? [Z(k?1)?H(k?1)X(k?1|k)]iii
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Pij(k?1|k?1)?1?Pij(k?1|k)?1?Hij(k?1)'Rij(k?1)?1Hij(k?1) (3.8)
?j(k?1|k)??(k)X?j(k|k) (3.9) XiiPij(k?1|k)??(k)Pij(k|k)?(k)'?G(k)Q(k)G(k)';i?Uj,j?U(3.10)
其初始条件为Xi?j(0|0)??,Pj(0|0)?P。
i03.2.2集中式多传感器状态估计
定义3.1：称矢量
Yj(k?1)?[Y1j(k?1)',Y2j(k?1)',...,YNjj(k?1)']' (3.11)
为节点j处的局部广义测量矢量，且Yj(k?1)?Rm?Nj。于是局部广义测量方程为
Yj(k?1)?Hj(k?1)X(k?1)?Wj(k?1) (3.12)
这里
Hj(k?1)?[H1j(k?1)',H2j(k?1)',...,HNjj(k?1)']' (3.13)
Wj(k?1)?[W1j(k?1)',W2j(k?1)',...,WNjj(k?1)']' (3.14)
且
??Wj(k)???Rj(k)00?????~?j?E??V(k)?[W(l)'V(l)'X(0)']???0Q(k)0??kl (3.15)
~???X??0(0)0P0???????其中，
~X(0)?X(0)??
而
j?1Rj(k?1)?1?diag[R1j(k?1)?1,R2j(k?1)?1,...,RN(k?1)] (3.16)
jj设局部节点j在融合中心坐标系的位置为??[ajbjcj]'，定义：
??j????? (3.17)
?0?n?1j为局部节点j位置坐标的增广向量，则节点j在融合中心坐标系中k+1时刻的局部广义测量向量为
Yj(k?1)?Zj(k?1)?Hj(k?1)?j,j?U (3.18)
现在把离散Kalman滤波理论应用于式（3.1）和式（3.2）构成的线性系统，则局部节
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点j(j?U)的集中状态估计方程为
?j(k?1|k?1)?X?j(k?1|k)?Kj(k?1)X (3.19) jjj? [Y(k?1)?H(k?1)X(k?1|k)]?j(k?1|k)??(k)X?j(k|k) (3.20) X
Kj(k?1)?Pj(k?1|k?1)Hj(k?1)'Rj(k?1)?1 ?Pj(k?1|k?1)[H1j(k?1)'R1j(k?1)?1,...,HNjj(k?1)'RNjj(k?1)?1] ?[K1j(k?1),...,KNjj(k?1)]Pj(k?1|k?1)?1?Pj(k?1|k)?1?Hj(k?1)'Rj(k?1)?1Hj(k?1) ?Pj(k?1|k)?1??Hij(k?1)'Rij(k?1)?1Hij(k?1)i?1NjNj(3.21)
?Pj(k?1|k)?1??[Pij(k?1|k?1)?1?Pij(k?1|k)?1]i?1 (3.22)
Pj(k?1|k)??(k)Pj(k|k)?(k)'?G(k)Q(k)G(k)' (3.23)
把式（3.11）、式（3.13）和式（3.21）代入式(3.19)有
Njjjjjiii?1?(k?1|k?1)?X?(k?1|k)??K(k?1)[Y(k?1)?Hj(k?1)X?j(k?1|k)]XiNj?j(k?1|k)??Kj(k?1){Zj(k?1)?Hj(k?1)[?j?X?j(k?1|k)]} ?Xiiiii?1(3.24)
?其初始条件为Xj(0|0)??,Pj(0|0)?P0。式（3.24）就是二级多传感器系统的集中
状态估计。
3.3分布式多传感器信息融合系统中的状态估计
这里所说的分布式多传感器系统是指如图所示的结构，也称作分级或二层结构。对这种系统的状态估计通常称为航迹融合或合成。这种结构模型的状态估计以局部节点
j(j?U)为例以定理的形式给出。
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