习题1
???1-1．已知质点位矢随时间变化的函数形式为r=R(cosωti?sinωtj) 其中?为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。
???解：(1) 由r=R(cosωti?sinωtj)，知：x?Rcos?t ，y?Rsin?t
消去t可得轨道方程：x2?y2?R2
∴质点的轨道为圆心在（0，0）处，半径为R的圆；
????dr?（2）由v?，有速度：v???Rsin?ti??Rcos?tj
dt1?222而v?v，有速率：v?[(??Rsin?t)?(?Rcos?t)]??R。
????1-2．已知质点位矢随时间变化的函数形式为r?4t2i?(3?2t)j，式中r的单位为m，t的单位为s。求：（1）质点的轨道；（2）从t?0到t?1s的位移；（3）t?0和t?1s两时刻的速度。
???解：（1）由r?4t2i?(3?2t)j，可知x?4t2 ，y?3?2t
消去t得轨道方程为：x?(y?3)2，∴质点的轨道为抛物线。
????????（2）从t?0到t?1s的位移为：?r?r(1)?r(0)?(4i?5j)?3j?4i?2j
????dr?（3）由v?，有速度：v?8ti?2j
dt?????t?0和t?1秒两时刻的速度为：v(0)?2j，v(1)?8i?2j。
????1-3．已知质点位矢随时间变化的函数形式为r?t2i?2tj，式中r的单位为m，t的单位为s.求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。
?????dv????dr解：(1)由v?，有：v?2ti?2j，a?，有：a?2i；
dtdt1?（2）而v?v，有速率：v?[(2t)2?22]2?2t2?1 ∴at?dv?dt2tt2?12，利用a2?at2?an有： an?a2?at2?2。 2t?1
1-4．一升降机以加速度a上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为h，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。
解法一：以地面为参照系，坐标如图，设同一时间内螺钉下落的距离为y1，升降机上升的高度为y2，运动方程分别为
1y1?h?v0t?gt2 （1）
21y2?v0t?at2 （2）
2相遇时y1=y2
2h。
g?a解法二：以升降机为非惯性参照系，则即得： t?利用h?
1
重力加速度修正为g'?g?a，
122hg?t，有：t??2g?2h。 g?a1-5．一质量为m的小球在高度h处以初速度v0水平抛出，求：
y（1）小球的运动方程；
v0h（2）小球在落地之前的轨迹方程；
??drdvdv（3）落地前瞬时小球的，，。
dtdtdt解：（1）如图，可建立平抛运动学方程： Ox??121?x?v0t ，y?h?gt ，∴r?v0ti?(h?gt2)j；
22gx2（2）联立上面两式，消去t得小球轨迹方程：y??2?h（为抛物线方程）；
2v0????12?dr?（3）∵r?v0ti?(h?gt)j，∴?v0i?gtj，
2dt???dv??即：v?v0i?gtj，??gj
dt???dr2h在落地瞬时，有：t?，∴?v0i?2ghj
dtgg2ghg2tdv?又∵ v?v?v?v?(?gt)，∴? 。
2dt[v2?(gt)2]12v0?2gh0
1-6．路灯距地面的高度为h1，一身高为h2的人在路灯下以匀速v1沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度v2.
证明：设人向路灯行走，t时刻人影中头的坐标为x1，足的坐标为x2，
x?xh由相似三角形关系可得：12?2，
x1h1h1h1h2∴x1?x2
h1?h2Ox1x2dxh1dx2dx两边对时间求导有：1? ，考虑到：2?v1，
dth1?h2dtdtdx2h1知人影中头的速度：v影?。 ?v1（常数）
dth1?h2
1-7．一质点沿直线运动，其运动方程为x?2?4t?2t2(m)，在 t从0到3s的时间间隔内，质点走过的路程为多少？
解：由于是求质点通过的路程，所以需考虑在0~3s的时间间隔内，质点速度为0的位置：
dxv??4?4t 若v?0 解得 t?1s，
dt?x1?x1?x0?(2?4?2)?2?2m
2x2y202?x3?x3?x1?(2?4?3?2?32)?(2?4?2)??8m
?x??x1??x2?10m。
1-8．一弹性球直落在一斜面上，下落高倾角??30?，问它第二次碰到斜面的位设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时解：小球落地时速度为v0?2gh，建立
2
度h?20cm，斜面对水平的置距原来的下落点多远(假人射角等于反射角)。
沿斜面的直角坐标系，以小
球第一次落地点为坐标原点如图示，
1vx0?v0cos600→ x?v0cos600t?gcos600t2 （1）
21vy0?v0sin600→ y?v0sin600t?gsin600t2 （2）
22v第二次落地时：y?0，代入（2）式得：t?0，
g22v012?2gh002所以：x?v0cos60t?gcos60t???4h?80cm。
2gg
1-9．地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为3.4cm/s2，设赤道上重力加速度为9.80m/s2。 解：由向心力公式：F?2R， 向?m赤道上的物体仍能保持在地球必须满足：F向?mg，而现在赤道上物体的向心力为：F'向?ma ∴
?mgg980????16.98?17 ?0maa3.4
1-10．已知子弹的轨迹为抛物线，初速为v0，并且v0与水平面的夹角为?。试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。 解：（1）抛物线顶点处子弹的速度vx?v0cos?，顶点处切向加速度为0，法向加速度为g。 因此有：g?v2?2v0cos2??； ?1?ggv0ang?角，（2）在落地点子弹速度为v0，由抛物线对称性，知法向加速度方向与竖直方向成则：an?gcos?，
2v0有：gcos?? 则： ?2?。
gcos??2y1-11．飞机以v0?100m/s的速度沿水平直线飞行，在离地面高h?98m时，
v0驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远?
h?解：设此时飞机距目标水平距离为x有：
x12Ox?v0t┄①，h?gt┄②
2x联立方程解得：x?447m，∴??arctan?77.50。
h
????1-12．设将两物体A和B分别以初速vA和vB抛掷出去．vA与水平面的夹角为?；vB与水平面的夹角为?，试证明在任何时刻物体B相对物体A的速度是常矢量。 证明：两个物体初速度为vA0和vB0，在任意时刻的速度为：
??? vA(t)?vA0cos?i?(vA0sin??gt)j
??? vB(t)?vB0cos?i?(vB0sin??gt)j
??????vBA?vB(t)?vA(t)?(vB0cos??vA0cos?)i?(vB0sin??vA0sin?)j 与时间无关，故B相对物体A的速度是常矢量。
2v0?1?(v0cos?)2?1，
yv0vxx 3
1-13．一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为v0?49.0m/s，而气球以速度v?19.6m/s匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？ 解：取g=9.8m/s2。
物体在任意时刻的速度表达式为：vy?v0?gt
故气球中的观察者测得物体的速度?v?vy?v
代入时间t可以得到第二秒末物体速度：?v2?9.8m，（向上）
s第三秒末物体速度：?v3?0
第四秒末物体速度：?v4??9.8m（向下）。
s
k为常数．1-14．质点沿x轴正向运动，加速度a??kv，设从原点出发时速度为v0，求运动方程x?x(t)。 dv??kv， 解： 由于是一维运动，所以，由题意：dtv1t分离变量并积分有：?dv???kdt ，得：v?v0e?kt
v0v0xtdx?v0e?kt， 积分有：?dx??v0e?ktdt 又∵
00dtv ∴ x?0(1?e?kt)
k
1-15．跳水运动员自10m跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速，设加速度a??kv2，k?0.4m?1.求运动员速度减为入水速度的10%时的入水深度。 解：取水面为坐标原点，竖直向下为x轴。
跳水运动员入水时的速度：v0?2gh?14m，
sv入水后速度减为入水速度的10%时：vt?0?1.4ms，
10dvdvdvdvdv?v 列式：??kv2，考虑到?v，有：?kv2?dtdtdxdtdxv0x1110dv?x?ln10?5.76m ，?kdx?v0v?0k
11-16．一飞行火箭的运动学方程为：x?ut?u(?t)ln(1?bt)，其中b是与燃料燃烧速率有关的量，ub为燃气相对火箭的喷射速度。求：（1）火箭飞行速度与时间的关系；（2）火箭的加速度。
dxdv解：看成一维运动，直接利用公式：v?，a?有：
dtdtdxdvub??uln(1?bt) ， （2）a??（1）v? dtdt1?bt
h?t，式中R、h、?为正的常量。求：1-17. 质点的运动方程为：x?Rcos?t，y?Rsin?t，z?（1）2?质点运动的轨道方程；（2）质点的速度大小；（3）质点的加速度大小。
h?t，这是一条空间螺旋线。 解：（1）轨道方程为：x2?y2?R2，z?2?空间螺旋线在Oxy平面上的投影，是圆心在原点，半径为R的圆，其螺距为h。
4
（2）vx?2xdxdydzh??R?sin?t ，vy??R?cos?t，vz???， dtdtdt2?2y2z2h2∴v?v?v?v??R?2；
4?（3）ax??R?2cos?t ay??R?2sin?t az?0
22?ay?R?2 ∴ a?ax思考题1
1-1．点作曲线运动，其瞬时速度为v，瞬时速率为v，平均速度为v，平均速率为v，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的?
（1）v?v,v?v；（2）v?v,v?v；（3）v?v,v?v；（4）v?v,v?v
答：（3）
1-2．质点的x~t关系如图，图中a，b，c三条线表示三个速度不同的运动．问它们属于什么类型的运动?哪一个速度大？哪一个速度小？ 答：匀速直线运动；va?vb?vc。
1-3．结合v~t图，说明平均加速度和瞬时加速度的几何意义。
答：平均加速度表示速度在?t时间内的平均变化率，它只能粗略地反映运动速度变化的快慢程度，而瞬时加速度能精确反映质点运动速度的变化。
1-4．运动物体的加速度随时间减小，而速度随时间增加，是可能的吗？
答：是可能的。加速度随时间减小，说明速度随时间的变化率减小，但速度仍在增加。
1-5．如图所示，两船A和B相距R，分别以速度vA和vB匀速直线行驶，它们会不会相碰?若不相碰，求两船相距最近的距离．图中?和?为已知。 答：方法一：如图，以A船为参考系，在该参考系中船A是静止的，而船B的速度v??vB?vA。
v?是船B相对于船A的速度,从船B作一条平行于v?方向的直BC,它不与船A相交,这表明两船不会相碰.
由A作BC垂线AC,其长度rmin就是两船相靠最近的距离 rmin?Rsin?
vsin??vAsin?作FD//AB,构成直角三角形DEF，故有：sin??B，
?v22?vB?2vAvBcos(???) 在三角形BEF中,由余弦定理可得：v??vAvBsin??vAsin?rmin?R。
22vA?vB?2vAvBcos(???)线
方法二：
两船在任一时刻t的位置矢量分别为： rA?(vAtcos?)i?(vAtsin?)j
rB?(R?vBtcos?)i?(vBtsin?)j r?rB-rA?[R?(vBcos??vAcos?)t]i?[(vBsin??vAsin?)t]j 任一时刻两船的距离为：
r?[R?(vBcos??vAcos?)t]2?[(vBsin??vAsin?)t]2
dr(t)?0 令：dt
5
t?vBcos??vAcos?R
(vBcos??vAcos?)2?(vBsin??vAsin?)2vBsin??vAsin?rmin?R。
22vA?vB?2vAvBcos(???)
1-6．若质点限于在平面上运动，试指出符合下列条件的各应是什么样的运动？
???drdrdvdvdada（1）（2）（3）?0，?0；?0，?0；?0，?0
dtdtdtdtdtdt答：(1) 质点作圆周运动； (2) 质点作匀速率曲线运动； (3) 质点作抛体运动。
1-7．一质点作斜抛运动，用t1代表落地时，
t1t1yt1（1）说明下面三个积分的意义：?vxdt,0?vdt,?vdt；
00（2）用A和B代表抛出点和落地点位置，说明下面三个积分的意义：
BBB?dr,At1?dr,A?dr。
A答：?vxdt 表示物体落地时x方向的距离，
0t1?v0ydt 表示物体落地时y方向的距离，
t1?vdt 表示物体在t时间内走过的几何路程，
10B?dr 抛出点到落地点的位移，
AB?dr 质点由抛出点到落地点经过的路程，
AB?dr 落地点与抛出点距原点距离之差。
A 6