立体几何初步
考纲导读 1．理解平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图、能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能根据图形想象它们的位置关系．2．了解空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系．
3．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握三垂线定理及其逆定理．
4．掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念；掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理．
5．了解多面体、凸多面体、正多面体的概念．
6．了解棱柱，棱锥的概念；了解棱柱，棱锥的性质；会画其直观图．7．了解球的概念；掌握球的性质；掌握球的表面积、体积公式．知识网络 平面 三个公理、三个推论 公理4及等角定理 平行直异面直相交直异面直线所成的角 异面直线间的距离 概念、判定与性质 垂斜距离 两个平面平行的判定与性质 二面角 两个平面垂直的判定与性质 三垂线定理 直线与平面所成的角 空间两条直直线、何平体面、简单几空间直线 与平面 直线在平面内 直线与平面平直线与平面相两个平面平行 空间两个平面 两个平面相交 定义及有关概念 棱柱 棱锥 球 性质 面积公式 体积公式 正多面体 多面体 综合应用 高考导航 本章的定义、定理、性质多，为了易于掌握，可把主要知识系统化．首先，归纳总结，理线串点，可分为四块：A、平面的三个基本性质，四种确定平面的条件；B、两个特殊的位置关系，即线线，线面，面面的平行与垂直．C、三个所成角；即线线、线面、面面所成角；D、四个距离，即两点距、两线距、线面距、面面距．
其次，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心中的核心，线面角、二面角、距离等均与线面垂直密切相关，把握其中的线面垂直，也就找到了解题的钥匙．
再次，要加强数学思想方法的学习，立体几何中蕴涵着丰富的思想方法，化空间图形为平面图形解决，化几何问题为坐标化解决，自觉地学习和运用数学思想方法去解题，常能收到事半功倍的效果．
第1课时 平面的基本性质
基础过关 公理1 如果一条直线上的 在同一个平面内，那么这条直线上的 都在这个平面内 (证明直线在平面内的依据)．
公理2 如果两个平面有 个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是 (证明多点共线的依据)．
公理3 经过不在 的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据)．推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面．推论2 经过两条 直线，有且只有一个平面．推论3 经过两条 直线，有且只有一个平面．
典型例题 例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于O，AC、BD交于点M．求证：点C1、O、M共线．D1 C1 证明：
B1 A1A∥CC1?确定平面A1CA1 A1C?面A1C ?O∈面A1C?O∈A1C
O 面BC1D∩直线A1C＝O ?O∈面BC1D
D C O在面A1C与平面BC1D的交线C1M上
M ∴C1、O、M共线
A B
变式训练1：已知空间四点A、B、C、D不在同一平面内，求证：直线AB和CD既不相交也不平行．提示：反证法．
例2. 已知直线l与三条平行线a、b、c都相交．求证：l与a、b、c共面．证明：设a∩l＝A b∩l＝B c∩l＝Ca∥b? a、b确定平面α ?l?β A∈a, B∈b
b∥c?b、c确定平面β 同理可证l?β
所以α、β均过相交直线b、l? α、β重合? c?α ?a、b、c、l共面
变式训练2：如图，△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线AB、BC、CA分别交平面α于P、Q、R点．求证：P、Q、R共线．A
B 证明：设平面ABC∩α＝l，由于P＝AB∩α，即P＝平面ABC∩α＝l，
C 即点P在直线l上．同理可证点Q、R在直线l上．α ∴P、Q、R共线，共线于直线l．P R Q 例3. 若△ABC所在的平面和△A1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证： (1) AB和A1B1、BC和B1C1分别在同一个平面内；
O A
B(2) 如果AB和A1B1，BC和B1C1分别相交，那么交点在同一条直线上．
CC
A B
证明：(1) ∵AA1∩BB1＝0，∴AA1与BB1确定平面α，又∵A∈a，B∈α，A1∈α，B1∈α，∴AB?α，A1B1?α，∴AB、A1B1在同一个平面内同理BC、B1C1、AC、A1C1分别在同一个平面内
(2) 设AB∩A1B1＝X，BC∩B1C1＝Y，AC∩A1C1＝Z，则只需证明X、Y、Z三点都是平面A1B1C1与ABC的公共点即可．
变式训练3：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB中点，F为AA1中点，求证：(1) E、C．D1、F四点共面；C1 D1 (2) CE、D1F、DA三线共点．
A1 证明(1) 连结A1B 则EF∥A1B A1B∥D1CB1 ∴EF∥D1C ∴E、F、D1、C四点共面
F (2) 面D1A∩面CA＝DA
D 1C ∴EF∥D1C 且EF＝D1C2B A E ∴DF与CE相交 又DF?面DA，CE?面AC
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∴D1F与CE的交点必在DA上
∴CE、D1F、DA三线共点．
例4.求证：两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内．
证明：(1) 若a、b、c三线共点P，但点p?d，由d和其外一点可确定一个平面α又a∩d＝A ∴点A∈α ∴直线a?α同理可证：b、c?α ∴a、b、c、d共面(2)若a、b、c、d两两相交但不过同一点∵a∩b＝Q ∴a与b可确定一个平面β又c∩b＝E ∴E∈β同理c∩a＝F ∴F∈β
∴直线c上有两点Ｅ、Ｆ在β上 ∴c?β同理可证：d?β 故a、b、c、d共面
由(1) (2)知：两两相交而不过同一点的四条直线必共面
变式训练4：分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线，为什么?
解：假设AC、BD不异面，则它们都在某个平面?内，则A、B、C、D??.由公理1知
?AC???,BD??.这与已知AB与CD异面矛盾，所以假设不成立,即AC、BD一定是异面
直线。小结归纳 1．证明若干点共线问题，只需证明这些点同在两个相交平面．
2．证明点、线共面问题有两种基本方法：①先假定部分点、线确定一个平面，再证余下的点、线在此平面内；②分别用部分点、线确定两个(或多个)平面，再证这些平面重合．3．证明多线共点，只需证明其中两线相交，再证其余的直线也过交点．
第2课时 空间直线
基础过关 1．空间两条直线的位置关系为 、 、 ．2．相交直线 一个公共点，平行直线 没有公共点，异面直线：不同在任 平面，没有公共点．
3．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 ．
4．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角 ．
5．异面直线的判定定理
过平面外一点与平面内一点的直线和平面内 的直线是异面直线(作用：判定两条直线是异面直线)
6．异面直线的距离：和两条异面直线 的直线称为异面直线的公垂线．两条异面直线的公垂线在 的长度，叫两异面直线的距离．典型例题 例1. 如图，在空间四边形ABCD中，AD＝AC＝BC＝BD＝a，AB＝CD＝b，E、F分别是AB、CD的中点．
(1) 求证：EF是AB和CD的公垂线；(2) 求AB和CD间的距离．A 证明：(1) 连结CE、DE
AC?BC?AB?CE??AD?BD?? ??AB⊥面CDEAB?DE??AE?BE?E ∴AB⊥EF 同理CD⊥EF∴EF是AB和CD的公垂线
B F
＝ED
D
(2) △ECD中，EC＝∴EF＝
a2?b22a2?b42C
变式训练1：在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝3，求AD、BC所成角的大小．
解：设BD的中点G，连接FG，EG。在△EFG中 EF＝
3 FG＝EG＝1
∴∠EGF＝120° ∴AD与BC成60°的角。
例2. S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，
2S 且?ASB＝?BSC＝?CSA＝?，M、N分别是AB和SC的中点．求异面直线SM与BN所成的角．
证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN 则QN∥SM ∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角 连结BQ，设SC＝a，在△BQN中 BN＝
5a 2N C
B M A NQ＝1SM＝
224a BQ＝
14a4
∴COS∠QNB＝
BN2?NQ2?BQ210?
2BN?NQ5∴∠QNB＝arc cos
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变式训练2：正?ABC的边长为a，S为?ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F分别是SC和AB的中点．
(1) 求异面直线SC和AB的距离； (2) 求异面直线SA和EF所成角． 答案：(1)
2a2 (2) 45°
C1 B1 P N
C B
M C
N 例3. 如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P
D1 分别为A1B1、BB1、CC1的中点．
(1) 求异面直线D1P与AM，CN与AM所成角；
A1 M (2) 判断D1P与AM是否为异面直线？若是，求其距离．
解：(1) D1P与AM成90°的角
D CN与AM所成角为arc cos2.
5(2) 是．NP是其公垂线段, D1P与AN的距离为1. 变式训练3：如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中， ∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1和A1C1的中点， 若BC＝CA＝CC1，求NM与AN所成的角．
解：连接MN，作NG∥BM交BC于G，连接AG， 易证∠GNA就是BM与AN所成的角．
设：BC＝CA＝CC1＝2，则AG＝AN＝5，GN＝B1M＝6，
A
B
A
B cos∠GNA＝
6?5?52?6?5?30。 10A
C
例4．如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底
P 面ABCD，AE⊥PD，EF∥CD，AM＝EF．
(1) 证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；
(2) 若PA＝3AB，求直线AC与平面EAM所成角的正弦值． （1）证明：∵EF∥CD AM∥CD
A ∴ AM∥EF，又AM＝EF ∴ AMFE为平行四边形
∵ AB⊥PA，AB⊥AD ∴ AB⊥面PAD
M ∴ AB⊥AE，又AE∥MF，∴ AB⊥MF
B 又∵AE⊥PD CD⊥AE ∴ AE⊥面PCD
∴ AE⊥PC ∴ MF⊥PC ∴ MF为AB与PC的公垂线．
(2) 设AB＝1，则PA＝3，建立如图所示坐标系．由已知得AE＝(0，
AB＝(1，0，0)
E F D
C 93，)， 1010面MFEA的法向量为k＝(0，1，－3)，AC＝(1，1，0)，cos＝EAM所成的角为
?55－arc cos，其正弦值为． 210105．∴ AC与面10