专题一 数学思想问题
⊙热点一：数形结合思想
1
1．(2013年甘肃天水)函数y1＝x和y2＝的图象如图Z1-8，则使y1＞y2成立的x取值
x范围是( )
A．x＜－1或x＞1 B．x＜－1或0＜x＜1 C．－1＜x＜0或x＞1 D．－1＜x＜0或0＜x＜1
图Z1-8 图Z1-9 2
2．已知二次函数y1＝ax＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图象相交于点A(－2,4)，B(8,2)(如图Z1-9)，则使y1＞y2成立的x的取值范围是________________．
3．(2012年广东湛江)某市实施“农业立市，工业强市，旅游兴市”计划后，2009年全市荔枝种植面积为24万亩．调查分析结果显示，从2009年开始，该市荔枝种植面积y(单位：万亩)随着时间x(单位：年)逐年成直线上升，y与x之间的函数关系如图Z1-10.
(1)求y与x之间的函数关系式(不必注明自变量x的取值范围)； (2)该市2012年荔枝种植面积为多少万亩？
图Z1-10
⊙热点二：分类讨论思想
1．(2013年贵州贵阳)如图Z1-11，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
图Z1-11 图Z1-12
2．(2013年福建龙岩)如图Z1-12，在平面直角坐标系xOy中，A(0,2)，B(0,6)，动点
1
C在直线y＝x上．若以A，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 ⊙热点三：转化与化归思想
1．(2013年广东)如图Z1-13,3个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积之和是__________(结果保留π)．
图Z1-13
2．(2013年福建福州)如图Z1-14，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是__________．
图Z1-14 图Z1-15
3．(2013年广西贺州)如图Z1-15，A，B，C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积是__________．
⊙热点四：整体思想
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1．(2013年江苏徐州)当m＋n＝3时，式子m＋2mn＋n的值为__________．
112
2．(2012年湖北黄冈)已知实数x满足x＋＝3，则x＋2的值为__________．
xx222
3．(2012年江西南昌)已知(m－n)＝8，(m＋n)＝2，则m＋n＝( )
2
A．10 B．6 C．5 D．3
2
数学思想问题
热点一
1．C 2.x<－2或x>8
3．解：(1)设函数的解析式为y＝kx＋b，
由图象可知，其经过点(2009,24)和(2011,26)， ?2009k＋b＝24，?k＝1，??则?解得? ??2011k＋b＝26，b＝－1985.??
∴y与x之间的关系式为y＝x－1985.
(2)令x＝2012，得y＝2012－1985＝27(万亩)． ∴该市2012年荔枝种植面积为27万亩． 热点二
1．C 解析：过点M作AB，AC或BC的垂线，所得三角形满足题意．故选C. 2．B 解析：如图78，AB的垂直平分线与直线y＝x相交于点C1，满足条件；∵A(0,2)，B(0,6)，∴AB＝6－2＝4.以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，与直线y＝x的交点为C2，
2
C3.∵OB＝6，∴点B到直线y＝x的距离为6×＝3 2.∵3 2＞4，∴以点B为圆心，以
2
AB的长为半径画弧，与直线y＝x没有交点．点C的个数是1＋2＝3.故选B.
图78
热点三 3π
1. 解析：采用割补法，则图中阴影部分的圆心角之和为135°.∴阴影部分的面积8
2
135π×13π
应为S＝＝. 36082．2 3 解析：如图79，延长AB，然后作出点C所在的直线，一定交于格点E.正六
边形的边长为1，则半径是1，则CE＝4.中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离是3，则
3 35 31
△BCE的边EC上的高是，△ACE边EC上的高是，则S△ABC＝S△AEC－S△BEC＝
222×4×?
?5 33 3?
－?＝2 3.
2??2
图79 图80
3．7 解析：如图80，连接AB1，BC1，CA1，∵A，B分别是线段A1B，B1C的中点，∴S△
ABB1＝S△ABC＝1，S△A1AB1＝S△ABB1＝1.∴S△A1BB1＝S△A1AB1＋S△ABB1＝1＋1＝2.同理，S△B1CC1＝2，S△A1AC1＝2.∴△A1B1C1的面积＝S△A1BB1＋S△B1CC1＋S△A1AC1＋S△ABC＝2＋2＋2＋1＝7.
热点四
1．9 2.7 3.C
3