习题8
8-1．沿一平面简谐波的波线上，有相距2.0m的两质点A与B，B点振动相位
?，已知振动周期为2.0s，求波长和波速。 6?解：根据题意，对于A、B两点，????2??1?，?x?2m，
比A点落后
而相位和波长之间满足关系：????2??1??6x2?x1?2????x?2?，
代入数据，可得：波长?=24m。又∵T=2s，所以波速u??T?12m/s。
8-2．已知一平面波沿x轴正向传播，距坐标原点O为x1处P点的振动式为y?Acos(?t??)，波速为u，求：
（1）平面波的波动式；
（2）若波沿x轴负向传播，波动式又如何?
（t?）??0]，则P点的振动式为： 解：（1）设平面波的波动式为y?Acos[?x1）??0]，与题设P点的振动式yP?Acos(?t??)比较， u?x1x?x1??，∴平面波的波动式为：y?Acos[?(t?有：?0?)??]；
uuyP?Acos[?（t?（2）若波沿x轴负向传播，同理，设平面波的波动式为：
xuxy?Acos[?（t?）??0]，则P点的振动式为：
uxyP?Acos[?（t?1）??0]，与题设P点的振动式yP?Acos(?t??)比较，
u?xx?x1有：?0??1??，∴平面波的波动式为：y?Acos[?(t?)??]。
uu
8-3．一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知A点的振动规律为y?Acos(2??t??)，试写出： （1）该平面简谐波的表达式；
（2）B点的振动表达式（B点位于A点右方d处）。 解：（1）仿照上题的思路，根据题意，设以O点为原点平面简谐波的表达式为：
x?ly?Acos[2??（t?）??0]，（t?）??0] 则A点的振动式：yA?Acos[2??uu2??l??， 题设A点的振动式y?Acos(2??t??)比较，有：?0?ulx??] ∴该平面简谐波的表达式为：y?Acos[2??（t??）uu（2）B点的振动表达式可直接将坐标x?d?l，代入波动方程：
ld?ldy?Acos[2??（t??）??]?Acos[2??（t?）??]
uuu
8-4．已知一沿x正方向传播的平面余弦波，t?1s时的波形如图所示，且周期T3为2s。
（1）写出O点的振动表达式； （2）写出该波的波动表达式； （3）写出A点的振动表达式； （4）写出A点离O点的距离。
解：由图可知：A?0.1m，??0.4m，而T?2s，则：u??/T?0.2m/s，
2?2???，k??5?，∴波动方程为：y?0.1cos(?t?5?x??0) T?O点的振动方程可写成：yO?0.1cos(?t??0)
1?由图形可知：t?s时：yO?0.05，有：0.05?0.1cos(??0)
33?5?dyO考虑到此时（舍去） ?0，∴?0?，
33dt??那么：（1）O点的振动表达式：yO?0.1cos(?t?（2）波动方程为：y?0.1cos(?t?5?x??3)；
?3)；
（3）设A点的振动表达式为：yA?0.1cos(?t??A)
1?s时：yA?0，有：cos(??A)?0 335?7?dyA考虑到此时（或?A?） ?0，∴?A??66dt由图形可知：t?∴A点的振动表达式：yA?0.1cos(?t?5?7?)，或yA?0.1cos(?t?)； 66（4）将A点的坐标代入波动方程，可得到A的振动方程为：
yA?0.1cos(?t?5?xA?)，与（3）求得的A点的振动表达式比较，有：
35??7?t???t?5?xA?，所以：xA??0.233m 。
6330
8-5．一平面简谐波以速度u?0.8m/s沿x轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。试写出：
（1）原点的振动表达式； （2）波动表达式；
（3）同一时刻相距1m的两点之间的位相差。 解：这是一个振动 图像！
由图可知A=0.5cm，设原点处的振动方程为：yO?5?10?3cos(?t??0)。 （1）当t?0时，yO当t?1时，yOt?0??2.5?10?3，考虑到：
dyOdtt?0?0，有：?0???3，
t?1?0，考虑到：
dyOdt?3t?1?0，有：???3??2，??5?， 6∴原点的振动表达式：yO?5?10cos(5??t?)； 63?35??t?kx?) 63?5?125?5?25???3??t?x?)； 而k??，∴y?5?10cos(u60.8246243?x25?k?x???3.27rad 。 （3）位相差：???2??24（2）沿x轴负方向传播，设波动表达式：y?5?10cos(
8-6．一正弦形式空气波沿直径为14cm的圆柱形管行进，波的平均强度为
9.0?10?3J/(s?m)，频率为300Hz，波速为300m/s。问波中的平均能量密度
和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？ 解：（1）已知波的平均强度为：I?9.0?10?3J/(s?m)，由I?w?u 有：
I9.0?10?3w???3?10?5J/m3
u300wmax?2w?6?10?5J/m3；
22（2）由W?w?V，∴W?w??d??w?d1414u?
?3?10?5J/m3??4?(0.14m)2?1m?4.62?10?7J 。
3?48-7．一弹性波在媒质中传播的速度u?10m/s，振幅A?1.0?10m，频率
??103Hz。若该媒质的密度为800kg/m3，求：（1）该波的平均能流密度；（2）
1分钟内垂直通过面积S?4.0?10m的总能量。 解：（1）由：I??421u?A2?2，有： 2122I??103?800?（10?4）（2??103）?1.58?105W/m2；
2?42（2）1分钟为60秒，通过面积S?4.0?10m的总能量为：
W?ISt?1.58?105?4?10?4?60?3.79?103J 。
8-8．右两个振幅相等相干平面简谐波源，它们的间距为d?5?/4，S1与S2为左、
2?t，且媒质无T吸收，（1）写出S1与S2之间的合成波动方程；（2）分别写出S1与S2左、右侧的
S2质点的振动比S1超前?2，设S1的振动方程为y10?Acos合成波动方程。 解：（1）如图，以S1为原点，有振动方程：
?y10?Acos2?t， TS1?S2x则波源S1在右侧产生的行波方程为：y1?Acos(2?2?t?x)， T?2??t?)， T2由于S2质点的振动比S1超前?2，∴S2的振动方程为y20?Acos(设以S1为原点，波源S2在其左侧产生的行波方程为：
y2?Acos(2?2?t?x??)，由于波源S2的坐标为5?/4，代入可得振动方程： T?2?2?5?2??y20?Acos(t????)，t?)比较，???2?。与y20?Acos(有：
T?4T22?2?2?2?t?x?2?)?Acos(t?x)。 T?T?可见，在S1与S2之间的任一点x处，相当于两列沿相反方向传播的波的叠加，
2?2?xcost，为驻波； 合成波为：y?y1?y2?2Acos?T2?2?t?x)， （2）∵波源S1在左侧产生的行波方程为：y1'?Acos(T?2?2?2?2?x)叠加，有：y左?y1'?y2?2Acos（t?x）与y2?Acos(t?；
T?T?2?2?t?x??')， （3）设波源S2在其右侧产生的行波方程为：y2'?Acos(T?2?2?5?t????')，代入波源S2的坐标为5?/4，可得振动方程：y20'?Acos( T?42??t?)比较，有：?'?3?。 与y20'?y20?Acos(T22?2?2?2?t?x?3?)?Acos(t?x??)。 ∴y2'?Acos(T?T?2?2?t?x)叠加，有：y右?y1?y2'?0。 与y1?Acos(T?∴y2?Acos(表明两列波正好是完全反相的状态，所以合成之后为0。
1?波长，S1比S2的位相超前。若两波42在在S1、S2连线方向上的强度相同且不随距离变化，问S1、S2连线上在S1外侧各点的合成波的强度如何？又在S2外侧各点的强度如何？ 解：（1）如图，S1、S2连线上在S1外侧， S2S1???2??2??r2r1(r2?r1)???????， ∵????2??1??2?48-9．设S1与S2为两个相干波源，相距∴两波反相，合成波强度为0；
（2）如图，S1、S2连线上在S2外侧， ∵????2??1?2??(r2'?r1')???2?2?(?)?0， ?4?S1?∴两波同相，合成波的振幅为2A，
S2?r'?2r1'