专题讲解：传送带上的滑块问题
滑块在传送带上运动时，所受滑动摩擦f的方向与滑块相对于传输带的相对速度方向相反，注意：而对滑块进行动力学运算时，滑块的位移、速度、加速度则均取地面为参考系．
若要另行计算滑块与传输带间由于滑动摩擦的相互作用而产生的焦耳热Q时，应先计算出滑块相对于传输带的相对位移L，再用Q?fL求解．
1．水平传送带上的滑块问题（Ⅰ）——滑块顺着传送带运行方向冲上传送带
滑块顺着传送带运动的方向以速度v1冲上以速度v2运动的传送带上，在水平传送带上的加速（v2>v1）或减速（v2 4轨道的半径R＝0.25 m，末端B点与水平传送带相切，物块由B点滑上粗糙的传送带．若传送带静止，物块滑到传送带的末端C点后做平抛运动，落到水平地面上的D点，已知C点到地面的高度H＝5 m，C点到D点的水平距离为x1＝1m，g＝10 m/s．．求： （1）物块滑到B点时速度的大小； （2）物块滑到C点时速度的大小； （3）若传送带不静止，则物块最后的落地点可能不在D点．取传送带顺时针转动为正方向，试讨论物块落地点到C点的水平距离x与传送带匀速运动的速度v的关系，并做出x?v的图象． 【解析】（1）设物体到达B点速度为v1，从A到B，由动能定理得：mgh?1mv21?0 2解得 v1?2gh?5m/s （2）从C到D做平抛运动，竖直方向上有 H?1gt2 2解得 t?1s 设水平方向上在C点速度为v2，则水平方向上有 x1?v2t 解得 v2?1m/s 1 故传送带不动时，滑块在传送带上一直减速到v2?1m/s （3）若物体在传递带上一直加速，到C点时速度为v3，由运动学规律有 22v3?v1??2as， v3?3 m/s 讨论： （1）若传递带逆时针转动，则滑块在传送带上沿着原来的运动方向是做减速运动，此时与传送带静止不动的情况相同． x?x1?1m （2）若传递带顺时针转动： ①当传送带的速度v满足：0 滑块在传送带上运动的速度始终大于传送带的速度，此时与传送带静止的情况一样 x?x1?1m ②当1 m／s ③当v>3 m/s时，故滑块在传送带上，一直加速到v3?3m/s x?v3t?3m 2．水平传送带上的滑块问题（Ⅱ）——滑块逆着传送带运行方向冲上传送带 滑块以速度v1逆着传送带运行方向冲上以速度v2运行的传送带： 2v1①若传送带两端的距离L较短，滑块会一直减速冲到另一端后离开传送带，即两端的距离L?，式 2?g中?为滑块与传送带间的动摩擦因数，滑块一直减速到另一端离开传送带． 2v1②如果传送带两端的距离L足够长，即L?时，则滑块先减速到零后再沿传送带运行的方向反向加 2?g速，滑块加速获得的速度不可能超过传送带的运行速度，即： 当v1?v2，则滑块先减速到零，再反向加速到v2，然后以速度v2相对传送带静止匀速运动 当v1?v2，滑块先减速到零，再反向一直加速运动v1，这种情况，类似于竖直上抛运动的情景． 【案例2】如图所示，一个长l?8m的传送带上表面距地面高度为h?0.2m，传送带以??6m/s的速度顺时针传动，传送带右端有一个斜面，斜面倾角??37，斜面底端通过一小段光滑圆弧和传送带相连，圆弧处放置一个小物块C，不计物块C由传送带滑上斜面过程的能量损失，且物块C与斜面间的动摩擦因数 0?1?0.25.有两个可视为质点且靠紧的小物块A和B，A、B之间夹有少量炸药，把A、B放在传送带左端 的同时引爆炸药，炸药瞬间爆炸，A物体水平向左抛出，落地点距传送带左端水平距离s?0.9m,B物体在传送带上运动，与传送带间的动摩擦因数?2?0.2，已知mA?1kg，mB?mc?0.5kg，已知 2 sin370?0.6，cos370?0.8,求： （1）炸药爆炸后B物体的速度． （2）从炸药爆炸到B第一次离开传送带，物块B与传送带因摩擦而产生的热量Q （3）若B、C相碰交换速度，从炸药爆炸到B最后离开传送带的过程中传送带对B所做的总功． 【解析】（1）A平抛：s?vAt，h?1gt2，解得t?0.2s，vA?4.5m/s 2炸药爆炸过程：mAvA?mBvB，vB?2vA?9m/s （2）设物体B在传送带上一直减速，加速度 ?2mBgmB??2g?2m/s2 22B到达C处时的速度为v1，有2aL?vB，解得v1?7m/s ?v1因v1?v，所以B一直减速，减速时间t1?vB?v1?1s aB与传送带因摩擦而产生的热量Q??2mBg(L?vt)?2J （3）物体B、C交换速度后B静止，C以v1滑上斜面，设上滑s1 2在斜面上上滑过程：??1mCgcos37??s1?mCgsin37??s1?0?1mCv1 2解得s1?2.45m 设C滑回底端时的速度为v2，在斜面上下滑过程，有 2??1mCgcos37??s1?mCgsin37??s1?1mCv2?0 2B、C交换速度后C静止，B滑上传送带，B从左端离开传送带需克服摩擦力做功 Wf??2mBgL 2代入数据解得1mBv2??2mBgL 2因此，B不会离开传送带，最终静止在C处，传送带对B所做的总功 Wf???2mBgL??8J 3．倾斜的传送带上滑块问题 【案例2】如图所示，传输带与水平间的倾角为??37?，皮带以10m/s的速率运行，在传输带上端A处无初速地放上质量为0.5kg的物体，它与传输带间的动摩擦因数为0.5，若传输带A到B的长度为16m，求：物体从A运动到B的时间和因相对滑动而产生的摩擦热？ 3 【解析】首先判定?与tan?大小关系，?=0.5， tg?=0.75，所以物体一定沿传输带对地下滑，不可能对地上滑或对地相对静止．其次皮带运行速度方向未知，而皮带运行速度方向影响物体所受摩擦力方向．所以应分别讨论． ①当皮带的上表面以10m/s速度向下运行时，刚放上的物体相对皮带有向上的相对速度，物体所受滑动摩擦方向沿斜坡向下， 该阶段物体对地加速度a1?mgsin???mgcos??10m/s2，方向沿斜坡向下 m物体赶上皮带对地速度需时间t1?v?ls a2在t1秒内物体沿斜坡对地位移s1?1a1t1?5m 2如图所示，当物体速度超过皮带运行速度时物体所受滑动摩擦力沿斜面向上，物体对地加速度 a1?mgsin???mgcos??2m/s2 m物体以a1?2m/s2加速度运行剩下的11m位移需时间t2 2则：s2?vt2?1a2t2 22即11=l0t2＋1?2t2； t2=ls (t?2??11s舍去) 2所需总时间t?t1?t2?2s 2在t1时间内发生相对位移?s1?vt1?1a1t1?5m 22在t2时间内发生相对位移?s2?vt2?1a2t2?vt2?1m 2所以由于摩擦产生的焦耳热Q1??mgcos?(?s1??s2)?12J ②当皮带上表面以10m/s速度向上运行时，物体相对于皮带一直具有沿斜面向下的相对速度，物体所受滑动摩擦方向沿斜坡向上且不变，设为a3 则a3?mgsin???mgcos??2m/s2 m物体从传输带顶滑到底所需时间为t? 则s?1a3t?2，t??2s?2?16s?4s 2a32在t?时间内发生的相对位移?s3?vt??1a3t?2?56m 2由于摩擦产生的焦耳热Q2??mgcos??s3?112J 4．组合传送带上的滑块问题 【案例4】图示为仓库中常用的皮带传输装置示意图，它由两台皮带传送机组成，一台水平传送，A、B两端相距3m，另一台倾斜， A BC 第36题图 θ D 4 传送带与地面的倾角??370，C、D两端相距4.45m，B、C相距很近．水平部分AB以5m/s的速率顺时针转动．将质量为10kg的一袋大米放在A端，到达B端后，速度大小不变地传到倾斜的CD部分，米袋与传送带间的动摩擦因数均为0.5．试求： （1）若CD部分传送带不运转，求米袋沿传送带所能上升的最大距离． （2）若要米袋能被送到D端，求CD部分顺时针运转的速度应满足的条件及米袋从C端到D端所用时间的取值范围． 【解析】（1）米袋在AB上：a0?f?mg???g?5m/s2 mm2v0米袋加速到v0?5m/s时，滑行的距离s0??2.5m?AB?3m 2a0故米袋在到达B点之前就与传送带同速 （2）设米袋在CD上运动的加速度大小为a，则 mgsin???mgcos??ma 求得a?10m/s2 所以能滑上的最大距离s?2v0?1.25m 2a（2）设CD部分运转速度为v1时米袋恰能到达D点，则米袋速度减为v1之前的加速度为 a1??g(sin???cos?)??10m/s2 米袋速度小于v1至减为零前的加速度为 a2??g(sin???cos?)??2m/s2 由 2v12?v00?v12??4.45m 2a12a2解得v1?4m/s 即要把米袋送到D点，CD部分的速度vCD?v1?4m/s 米袋恰能到D点所用时间最长为tmax?v1?v00?v1??2.1s a1a2若CD部分传送速度较大，使米袋沿CD上滑时所受摩擦力一直沿传送带向上，则所用时间最短，此种 情况米袋加速度一直为a2 2由sCD?v0tmax?1a2tmax，得tmax?1.16s 2所以，所示时间t的范围为1.16s?t?2.1s 5