无穷乘积的收敛性
郭州雄
（数学与信息科学学院 西北师范大学 甘肃兰州 730070）
摘 要 在无穷乘积的研究中，确定无穷乘积的敛散性问题是一个很重要的问题，
本文通过无穷级数与无穷乘积的关系浅谈一下判断无穷乘积敛散性的一些方法。
关键词 无穷乘积 无穷级数
The abstract in the infinite product research, determined the infinite product collects the divergence question is a very important question, this article through the infinite series and the infinite product relations discussed shallowly judges the infinite product to collect the divergence some methods.
Key word infinite product infinite series 一 预备知识
定义1 设p1,p2,...,pn......(pn?0)（pn?0）是无穷可列个实数，我们称他们的“积”p1.p2...pn..
pn称为无穷乘积的通项或一般项.
为无穷乘积，记为?pn，其中
n?1?从定义我们可以看出，这里有无穷多个实数相乘，当然我们无法对无穷多个实数逐一地进行乘法运算，所以必须对无穷乘积求积给出一个合 理地定义，为此构作无穷乘积?pn的部分积数列?Pn?：
n?1?P1?p1P2?p1.p2 ......
Pn?p1.p2...pn......
1
定义2 如果部分积数列?Pn?收敛于一个非零的有限数P，则称无穷乘积?pn收敛，且称P为它的积，记为?pn=P，如果?Pn?发散或收
n?1n?1??敛于零，则称无穷乘积?pn发散。
n?1?注意这里当limPn?0时，我们称无穷乘积?pn发散于0，而不是
x???n?1收敛于0，以后我们将会看到这样做的好处仅仅是使无穷乘积的收敛性和无穷级数的收敛性统一，下面给出无穷乘积收敛的一个必要条件：
定理1 如果无穷乘积?pn收敛，则
n?1?（1）limPn?1
x??（2）limm??n?m?1??pn?1
?证明 设无穷乘积?pn 的部分积数列为?Pn? ，则
n?1limpn?limn??Pn?1n??Pn?1pn?limn?1m??mn?1
m??limn?m?1???p?p?n
?1n 证毕
由定理1知，若无穷乘积的通项不趋于0，则无穷乘积必定发散，而当通项趋于0时，必定在某一项以后大于0，而无穷乘积的收敛性与前面有限项无关，只不过若收敛的话“积”不同罢了，所以下面我们假定无穷乘积的通项pn?0，而下面的定理将无穷乘积与无穷级数的敛散性统一起来：
定理2 无穷乘积?pn收敛的充分必要条件是无穷级数?lnpnn?1n?1?? 2
收敛。
证明：设无穷乘积?pn的部分积数列为?Pn? ，无穷级数?lnpn
n?1n?1??的部分和数列为?Sn? ，则
pn=eSn
所以?Sn? 收敛的充分必要条件是?Pn? 收敛，而?Pn? 收敛于0，既?pn 发散于0的充分必要条件是?lnpn 发散于?。
n?1n?1??由定理2 ，我们建立了?pn 与?lnpn 之间的关系，于是我们
n?1n?1??可以通过判断无穷级数?lnpn的敛散性来判断无穷乘积?pn的敛散
n?1n?1??性，下面给出两个重要的推论：
推论1 设an?0（或?1?an?0），则 无穷乘积?(1?an) 收
n?1?敛的充分必要条件是级数 ?an 收敛。
n?1?证明：显然级数?ln(1?an)与级数?an 都是正项级数或都是负
n?1n?1??项级数，它们都以liman?0 为收敛的必要条件，而当liman?0 时，我
n??n??们有
limln(1?an)?1
n??an?于是由正项级数的比较判别法，级数?ln(1?an) 收敛的充分必要
n?1条件是 ?an 收敛。
n?1? 证毕
3
推论2 设级数 ?an收敛，则 无穷乘积?(1?an)收敛的充分
n?1n?1??必要条件是级数?an2 收敛。
n?1?证明：由?an收敛，可知liman?0，由ln(1?an)?an及
n?1n???122an??(an)an?ln(1?an)12， lim?lim?22n??n??anan2根据正项级数的比较判别法，当?ln(1?an)与?an收敛时，必有
n?1n?1???an?1?2n的收敛性，反过来，当?an 收敛时 ，由于?an的收敛性，必定
2n?1n?1???可得到?ln(1?an)的收敛性。
n?1 证毕
我们由定理2 可以看到，要判断一个无穷乘积的敛散性我们只需要判断对应的级数的敛散性，而由推论1及推论2可以看到正项级数在数项级数中占有重要的地位，于是我们先讨论正项级数的判别法，进而再讨论一般的数项级数的判别法.
二 正项级数的判别法
定理3 （正项级数的收敛原理）正项级数?xn收敛的充分必要条
n?1?件是它的部分和数列有上界。
定理4（比较判别法）设?xn与?yn是两个正项级数，若存在常
n?1n?1??数A，成立
xn?Ayn,n?1,2,3... 则
4
（1）
当?yn收敛时，?xn也收敛
n?1?n?1???（2）
?当?xn发散时，?yn也发散。
n?1n?1?证明：设级数?xn 的部分和数列为Sn，级数?yn的部分和数列为Tn，
n?1n?1则显然有
Sn?ATn,n?1,2,3...
于是当?Tn?有上界时，?Sn?也有上界，而当?Sn?无上界时，?Tn?必定无上界。
证毕
定理 4（比较判别法的极限形式）设?xn与?yn是两个正项级数，如
'n?1n?1??果xn与yn是同阶无穷小量，即
limn??xn?l(0?l???) yn则?xn与?yn同时收敛或同时发散。
n?1n?1?? 证明：由limn??xnl?l(0?l???)，取??，则存在自然数N，当n?N时， yn213lyn?xn?lyn 22由定理4，即得所需结论，
证毕
定理5 （1）若?xn收敛，则有?yn收敛，其中xn?yn；
n?1?n?1??? （2）若?xn发散，则有?yn发散，其中xn?yn。
n?1n?1 证明：（1）令yn?xn?
1，显然xn?yn， 2n5