1. 设f(x,y)?xy.由例3已经知道(x,y)?(0,0)时f的重极限不存在.但当y?0时22x?y有limx?0xyxyxy从而有同理可得?0limlim?0limlim?0，即f的两
y?0x?0x2?y2x?0y?0x2?y2x2?y2个累次极限都存在且相等.
x?y?x2?y22. 设f(x,y)?,它关于原点的两个累次极限分别为
x?yx?y?x2?y2y2?ylimlim?lim?lim(y?1)??1y?0x?0y?0y?0x?yy与
x?y?x2?y2x?x2limlim?lim?lim(1?x)?1当沿斜率不同的直线y?mx，x?0y?0x?0x?0x?yx(x,y)?(0,0)时容易验证所得极限也不同.因此该函数的重极限不存在.
3. 设f(x,y)?xsin11?ysin,它关于原点的两个累次极限都不存在.这是因为对任何yxy?0,当x?0时f的第二项不存在极限.同理,对任何x?0,当y?0时f的第一项也
不存在极限.但是由于xsin11?ysin?x?y,故按定义1知道f的重极限存在,且yx(x,y)?(0,0)limf(x,y)?0.
22??fx?2x?6?0,4. 求f(x,y)?x?5y?6x?10y?6的极值.解:由方程组?得f的稳定
f?10y?10??y点P0(3,?1),由于fxx(P0)?2,fxy(P0)?0,fyy(P0)?10,(fxxfyy?fxy)(P0)?20因此f在点P0取得极小值f(3,?1)??8.又因f处处存在偏导数,故(3,-1)为f的唯一极值点. 5. 讨论f(x,y)?x?xy是否存在极值.解:由方程组fx?2x?y?0,fy?x?0得稳定
点为原点.因fxxfyy?fxy??1?0,故原点不是f的极值点.又因f处处可微,所以f没有极值点.
6. 讨论f(x,y)?(y?x)?(y?2x)在原点是否取得极值.解:容易验证原点是f的稳定
点,且在原点fxxfyy?fxy?0,故由定理17.11无法判定f在原点是否取到极值.但由于
222222当x2?y?2x2时f(x,y)?0,而当y?2x2或y?x2时,f(x,y)?0(如图),所以函数f不可能在原点取得极值. 7. 设方程F(x,y)?y?x?1siny?0.由于F及其偏导数Fx,Fy在平面上任一点都连续,21且F(0,0)=0,F(x,y)?1?cosy?0.故依定理18.1和18.2,方程确定了一个连续可
2F(x,y)12导隐函数y=f(x),按公式5,其导数为f?(x)??x ??Fy(x,y)1?1cosy2?cosy28. 讨论笛卡儿叶形线(如图)x3?y3?3axy?0(1)所确定的隐函数y=f(x)的一阶与二阶
导数.解：由隐函数定理知道，在使得Fy(x,y)?3(y?ax)?0的点(x,y)附近,方程1都能确定隐函数y=f(x),现求它的一阶与二阶导数如下:对(1)式求关于x的导数(其中y是x的函数)并以3除之,得x2?y2y??ay?axy??0或(x2?ay)?(y2?ax)y??0(2)
2于是
a?y22xy??2(y?y?ax(3)a0?x)再对(2)式求导,得
2x?ay??(2yy??a)y??(y2?ax)y???0,y??(y2?ax)?2ay??2yy?2?2x.(4)把(3)式?2a3xy?2xy(x3?y3?3axy)代入(4)式的右边,得2ay??2yy??2x?.再利用方程(1)23(y?ax)22a3xy就得到y????2(5).由(3)式易见,曲线在点A(32a,34a)处有一水平切线,在点3(y?ax)B(34a,32a)处有一垂直切线.
9. 讨论方程F(x,y,z)?xyz?x?y?z?0在原点附近所确定的二元隐函数及其偏导
数.解:由于F(0,0,0)=0,Fx(0,0,0)??1?0,F,Fx,Fy,Fz处处连续,根据隐函数定理,在原点(0,0,0)附近能唯一确定连续可微的隐函数z=f(x,y),且可求得它的偏导数如
323Fyxz3?3y2Fxyz3?2x?z?z下:, ??????22?xFz1?3xyz?yFz1?3xyz1??dxdx1I(?)?,1??,.解:记.由于都是?和x??1?x2??2??0??1?x2??21?x2??21dx??的连续函数,由定理19.2知I(?)在α=0处连续,所以limI(?)?I(0)??.
01?x2??041ln(1?x)1ln(1??x)dxI(?)?11. 计算积分I??.解:考虑含参量积分?01?x2dx.显然01?x210. 求lim1??I(0)=0,I(1)=I,且函数I(?)在R=[0,1]?[0,1]上满足定理19.3的条件,于是
I?(?)??xx1??x?.因为dx?(?),所以
0(1?x2)(1??x)(1?x2)(1??x)1??21?x21??x11?1x1?1(dx?dx?dx)2?022??001??1?x1?x1??x1?1?1211. ??arctanx?ln(1?x)?ln(1??x)0002??1???2?1??1???*?ln2?ln(1??)?1??2?42??I?(?)?1??1???ln2?ln(1??)d??0?01??2?42???1211因此?ln(1??)0?ln2arctan?0?I(1)
821I?(?)d???1??8ln2??8ln2?I(1)??4ln2?I(1)另一方面12.设
?10I?(?)d??I(1)?I(0)?I(1)所以I?I(1)?x=0
?8ln2.
f(x)在
的某个邻域内连续,验证当x充分小时,函数
n?1x1?(x)?x(?(n?1?)0!t)f(t)dt的各阶导数存在,且?(n)(x)?f(x).解:由于原式中被积函
数F(x,t)?(x?t)可得??(x)?n?1f(t)及其偏导数Fx(x,t)在原点的某个方邻域内连续,于是由定理19.4
x11n?2n?1(n?1)(x?t)f(t)dt?(x?x)f(x)
(n?1)!?0(n?1)!xx11n?2???(x?t)f(t)dt.同理?(x)?(x?t)n?3f(t)dt ??(n?2)!0(n?3)!0x1n?k?1(x?t)f(t)dt ?0(n?k?1)!如此继续下去,求得k阶导数为?x(k)(x)?特别当k=n-1时有?(n?1)(x)??f(t)dt于是 ?(n)(x)?f(x).附带说明,当x=0时,?(x)及其
0各阶导数为?(0)???(0)????13.求I?(n?1)(0)?0
?10b1bxb?xaxb?xayydx(b?a?0).解:因为?xdy?,所以I??dx?xdy.由于
a0alnxlnx函数x在R??0,1???a,b?上满足定理19.6的条件,所以交换积分顺序得到
yI??dy?xdx??a0b1y11?b dy?lna1?y1?ab14.设f(x,y)?sgn(x?y)(这个函数在x=y时不连续),试证由含参量积分
F(y)??f(x,y)dx所确定的函数在(??,??)上连续,并做函数F(y)的图像.解:因为
01??1,x?y?0?x?1,所以当y<0时,f(x,y)=1.当0?y?1时,f(x,y)??0,x?y当y>1
?1,x?y??1,y?0?时,f(x,y)??1.则F(y)??1?2y,0?y?1.F(y)的图像如图.又因limF(y)?1?F(0),
y?0??1,y?1?limF(y)??1?F(1).F(y)在y=0与y=1处均连续,因而,F(y)在(??,??)上连续.
y?115.求下列极限(1)lim??0?1?1x??dx(2)lim?x2cos?xdx解:(1)因为二元函数x2??2在
??00222矩形域R???1,1????k,k?上连续(k为任意正实数),由定理19.1,函数连续.则lim?1?1x2??2dx在α=0
??0?1?1x2??2dx??limx2??2dx??xdx?1(2) 因为二元函数x2cos?x?1??0?111在矩形域R??0,2????k,k?上连续(k为任意正实数),由定理19.1, 函数=0连续.则lim16.设F(x)??20x2cos?xdx在α
??00?x28xcos?xdx??x2dx?
0322?x2e?xydy,求F?(x).解:?x?(??,??),存在k>0,使x???k,k?.二元函数
2e?xy与
??xy222??k,k(e)在矩形区域R???k,k???x上连续,x与均为可微函数.则函数 ???xx2?x2253?xy2(e?xy)dy?e?x(x2)??e?x(x)? F(x)??edy在??k,k?上可微,且F?(x)??xx?x2???y2e?xydy?2xe?x?e?x
xx225317.计算
?Lxydx?(y?x)dy,其中L分别沿如图中路线(1)直线AB;(2)ACB(抛物
2线:y?2(x?1)?1);(3)ADBA(三角形周界).解:(1)直线AB的参数方程为
1?x?1?txydx?(y?x)dy?.故由公式(6)可得,t?0,1?(1?t)(1?2t)?2t?dt ?????AB0?y?1?2t??(1?5t?2t2)dt?0125.(2)曲线ACB为抛物线y?2(x?1)2?1,1?x?2,所以6222?ACBxydx?(y?x)dy??1x??2(x?1)?1?????2(x?1)?1?x??4(x?1)dx
????(10x3?32x2?35x?12)dx?1210.(3)这里L是一条封闭曲线,故可从A开始,应用上段的3性质2,分别求沿AD,DB和BA上的线积分然后相加即可得到所求之曲线积分.由于沿直线AD:x=x,y=1(1?x?2)的线积分为DB:x=2,y=y(1?y?3)的线积分为沿
直
线
BA
的
AB?ADxydx?(y?x)dy??xydx??xdx?AD123.沿直线2?DBxydx?(y?x)dy?分
可
由
?DB(y?x)dy??(y?2)dy?0
13线积(1)及公式5得到
?BAxydx?(y?x)dy???xydx?(y?x)dy??25所以??Lxydx?(y?x)dy 6?3258?0?(?)?? 26318.计算
?Lxdy?ydx,这里L:(1)沿抛物线y?2x2,从O到B的一段(如图);(2)沿直线段
沿
1OB:y=2x;(3)封
2闭
12曲线OABO.解:(1)
16?Lxdy?ydx??0??x(4x)?2x??dx??06xdx?3?2.(2) ?Lxdy?ydx??0(2x?2x)dx
1?4??2.(3)在OA一段上，y=0，0?x?1；在AB一段上，x=1，0?y?2；在BO一
2段上与(2)一样是y=2x从x=1到x=0的一段.所以
?OAxdy?ydx??0dx?0,
01?ABxdy?ydx??1dx?2,?xdy?ydx???xdy?ydx??2,
0BOOBOA2??xdy?ydx??L??AB??BO?0?2?2?0
19.计算
?ABxdy,其中曲线AB是半径为r的圆在第一象限部分(如图).解:对半径为r的四分之
一圆域D,应用格林公式有???d????D?Lxdy??OAxdy??ABxdy??BOxdy.由于?OAxdy?0
,
12xdy?0所以xdy??d????r ?BO?AB??4D20.试应用曲线积分求(2x+siny)dx+(xcosy)dy的原函数.解:这里P(x,y)=2x+siny,Q(x,y)=xcosy,所以在整个平面上成立
?P?Q??cosy.由定理21.12,曲线积分?y?x?AB(2x?siny)dx?(xcosy)dy.只与起点A和终点B有关,而与路线的选择无关.为此,取
A(0,0),B(x,y),取路线为如图中的折线段ACB.于是有u(x,y)??x02xdx??xcosydy?C
0y