?x2?xsiny?C
21.应用格林公式计算下列曲线积分(1)
??L(x?y)2dx?(x2?y2)dy其中L是以
A(1,1)B(3,2)C(2,5)为顶点的三角形，方向取正；(2)
?AB(exsiny?my)dx?(excosy?m)dy,
其中m为常数,AB为由(a,0)到(0,0)经过圆x2?y2?ax上半部的路线.解:(1)如图所示AB的方程y?1(x?1)(?1x?BC3的)方程y??3x?11(2?x2?CA
的方程
,P?(x?y)2,Q(x2?y2),y?4(x?3)?(x1??Q?P???4x?2y则三角形区域S被?x?y分=
2成两部分
S1和
S2S1.则,原式
??(?4x?2y)dxdyS???(?4x?2y)dxdy???(?4x?2y)dxdyS2??dx?114x?3(x?1)2(?4x?2y)dy??dx?123?3x?1(x?1)(?4x?2y)dy??4622。（2）连接点O(0,0)与点3上,y=0,dy=0.于是
OAA(a,0),构成封闭路线
?AOA,在线段
AOAOA
AO?OA(exsyi?myndx?ex)y?(mdyc?o而s???x????????AO??AB由格林
公式
???AOA(esiyn?mydx?)exm?a2(y?cmodys?)??mdxdy?因此原式
8D:x2?y2?axm?a2
=.
8
22.计算I???D2d?1?x2?y22?,其中D为圆域: x?y?1.解:由于原点为D的内点,故由公式,
22有
??Dd?1?x?y22??d??0221r1?r20dr??022???1?r2?d??2?d??2?
?0??0123.求球面x?y?z?R被圆柱面x?y?Rx所割下的部分的体积.解:由所求立体的对称性(如图),只要求出在第一卦限内的部分体积后乘以4,即得所求立体的体积.在在第一卦限内的立体是一个曲顶柱体,其底为xy平面内由y?0和x?y?Rx所确定的区域,曲顶的方
程
为
2222z?2R?2x?.2y所
以
V?4??D2R?2x??2y,d其
中
D?(x,y)y?0,x2?y2?Rx??(如图).用极坐标变换后,由公式得
V?4?d??02?Rcos?043?4?2R?rrdr?R?2(1?sin3?)d??R3(?)
033232224.计算I?2???eD?(x2?y2)d?,其中D为圆域:x2?y2?R2.解:利用极坐标变换, 由公式得
2I??d??re?rdr??(1?e?R)
00R2x2y2z225.求椭球体2?2?2?1的体积.解:由对称性,椭球体的体积V是第一卦限部分体积的8
abc??x2x2y2??倍,这一部分是以z?c1?2?2为曲顶,D??(x,y)0?y?b1?2,0?x?a?为底
aab????x2y2的曲顶柱体,所以V?8??c1?2?2dxdy.应用广义极坐标变换,由于z?c1?r2,因此
abDV?8?d??c1?r2abrdr?8abc?d??r1?r2dr?00002?12?14?abc 326.计算
2222(x?y)dxdydz,其中V是由曲面2(x?y)?z与z=4为界面的区域(如图) ???V解:V在xy平面上的投影区域D为x2?y2?2,按柱坐标变换,区域V?可表为
V??(r,?,z)2r2?z?4,0?r?2,0???2?2?2??42r所以由公式得
223???(x?y)dxdydz????rdrd?dz??d??dr?VV?00r3dz?28? 327.求由圆锥体z?其中??(0,x2?y2cot?和球体x2?y2?(z?a)2?a2所确定的立体体积(如图),
?2)和a(>0)为常数.解:在球坐标变换下,球面方程x2?y2?(z?a)2?a2可表示
x2?y2cot?可表示成???.因此
成r?2acos?,锥面方程z?V???(r,?,?)0?r?2acos?,0????,0???2??由公式(7)求得V的体积为
???dV??d??d??V002??2acos?04r2sin?dr??a3(1?cos4?).
3x2y2z228.求I????zdxdydz,其中V为由2?2?2?1与z?0所围区域.解:所广义球坐标变
abcV?x?arsin?cos??换T:?y?brsin?sin?于是J?abcr2sin?在上述广义球坐标变换下,V的原象为
?z?crcos?????V???(r,?,?)0?r?1,0???,0???2??由公式,有
2??2323zdxdydz?abcrsin?cos?drd?d??d?d?abc?????????rsin?cos?dr 2?2?1VV22??abc2?2?0sin?cos?d???abc4
000