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专题53 圆锥曲线的取值范围问题
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纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等.
圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用代数方法求解最值、范围问题. 1、解不等式：通过题目条件建立关于参数的不等式，从而通过解不等式进行求解。常见的不等关系如下： （1）圆锥曲线上的点坐标的取值范围
x2y2① 椭圆（以2?2?1?a?b?0?为例），则x???a,a?，y???b,b?
abx2y2② 双曲线：（以2?2?1?a,b?0?为例），则x????,?a?（左支）
ab y?R
③ 抛物线：（以y?2px?p?0?为例，则x??0,???
2?a,???（右支）
（2）直线与圆锥曲线位置关系：若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消元后的一元二次方程??0
22x2y2x0y0（3）点与椭圆（以2?2?1?a?b?0?为例）位置关系：若点?x0,y0?在椭圆内，则2?2?1
abab（4）题目条件中的不等关系，有时是解决参数取值范围的关键条件
唐玲
2、利用函数关系求得值域：题目中除了所求变量，还存在一个（或两个）辅助变量，通过条件可建立起变量间的等式，进而可将等式变形为所求变量关于辅助变量的函数，确定辅助变量的范围后，则可求解函数的值域，即为参数取值范围
（1）一元函数：建立所求变量与某个辅助变量的函数关系，进而将问题转化为求一元函数的值域，常见的函数有：① 二次函数；②“对勾函数”y?x?a?a?0?；③ 反比例函数；④ 分式函数。若出现非常规x函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决。
（2）二元函数：若题目中涉及变量较多，通过代换消元最后得到所求参数与两个变量的表达式，则可通过均值不等式，放缩消元或数形结合进行解决。
3、两种方法的选择与决策：通常与题目所给的条件相关，主要体现在以下几点：
（1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量，建立所求变量与自变量的函数关系，进而求得值域
（2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式），一方面可以考虑将表达式视为整体，看能否转为（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起关于该变量的不等式，解不等式即可
【经典例题】
例1. 【2019届河南省南阳市第一中学第十八次考】已知为双曲线过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于点立，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A.
B.
C.
D.
，交轴于点
，若
上的任意一点，
恒成
【答案】B
考查双曲线的一条渐近线方程令x=0，得
，令y=0得
考查双曲线的另一条渐近线方程
唐玲
令x=0，得据此有
，令y=0得
恒成立，则恒成立，
，则
可得故选B.
即
例2.【2019届湖南省长沙市长郡中学模拟二】已知椭圆：两点，右焦点为，A.
B.
，若 C.
的面积为 D.
与过原点的直线交于、
，则椭圆的焦距的取值范围是（ ）
【答案】B
∵AF+AF1=2a，∴AF+BF=2a， ∵S△ABF=AF?BF?sin120°=∴AF?BF=16，
AF?BF=4
，
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∴a=3c+c=4c，∴2c=a， ∴2c≥4． 故选：B．
2
2
2
2
点睛：：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
例3.【2019届山东省日照市校际联考】已知抛物线：在第一象限，A. B. 【答案】B
【解析】分析：把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系表示四边形数求最值即可. 详解：设设直线
且
,易知
，
面积，借助导函
，为坐标原点，则四边形 C. D.
的焦点为，过的直线交于，两点，点
面积的最小值为（ ）
唐玲
由所以
易知
在
上为减函数，所以当
时，
,
故选：B.
例4.【2019届河北省唐山市三模】已知是抛物线则
的最小值为（ ）
D.
上任意一点，是圆
上任意一点，
A. B. 3 C. 【答案】D
，
是圆
的最小值为
上任意一点， ，故选D.
，
例5.【2019届安徽省安庆市第一中学热身】已知椭圆
有相同的焦点
心率分别为
，则
，若点是与在第一象限内的交点，且
与双曲线
，设与的离
的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
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