xj?DjD，j=1,2,3,…,n;
其中Dj是用常数项b1,b2,?,bn替换系数矩阵D中的第j列所称的行列式。
显然，判断一个方程组是否有解即使要看系数行列式是否为0,。 对于齐次线性方程组，显然有一组全为零的解，判断齐次线性方程组是否有非零解方法为如下定理：
齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式|A|=0. 这种方法是十分容易理解的，用于计算机计算也十分方便，但是不看出判断线性方程组的解的根本性质，因此要用到矩阵等方法进一步讨论。 二）利用矩阵判断线性方程组的解
利用矩阵判断线性方程组的解必须要用到矩阵的秩的概念，上面专门讨论过，就开始讨论如何使用秩的求解。
判断线性方程组的解有如下定理： n元线性方程组Ax=b，
（1） 有解的充要条件是R（A）= R（B）；
（2） 有唯一解的充要条件是R（A）=R（B）=n； （3） 有无穷多解的充要条件是R（A）=R（B） 关于齐次线性方程组，判断其解有定理： n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是|A|=0. 这个定理有如下推论，对判断解十分有用： n个方程的n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是|A|=0. 通过以上讨论，线性方程组的判断已经很容易了，下一步就是要使用向量这个工具讨论线性方程组通解性质。 下面就是求线性方程组通解的方法： 关于基础解系的定义: 齐次线性方程组Ax=0的解空间V的基称为该方程组的基础解系。 基础解系的特解线性无关，且方程组任一解都基础解系解的线性组合。 首先讨论线性方程组通解的性质： 性质1： 若X1,X2是Ax=0的任意两个解，则X1+X2也是Ax?0的解。: 性质2： 若X是Ax=0的解，k为任意数，则kX也是Ax=0的解。 性质3： 设X1,X2为非齐次线性方程组的任意两个的解，则X1-X2是它对应的齐次线性方程组的解。性质4： 设X是非其次线性方程组的特解，Z为它对应的齐次线性方程组的特解，则Z+X是非其次线性方程组的解。有了以上性质加上有关定理就可以很简单的求出通解了，关于齐次非其次线性方程组通解的定理分别如下： 定理1： 设A是m*n矩阵，若R(A)=r 设Z为非其次线性方程组的特解，X1,X2,?,Xn?r为它对应的齐次线性方程组的基础解系，则非其次线性方程组的通解为 x=Z+C1X1?C2X2???Cn?rXn?r其中C1,C2,?,Cn?r为任意常数。根据以上性质及定理，加上前部分讨论的判断线性方程组是否有解的方法，现在已经可以很简单地判断并解出一个线性方程组的通解。 下面举一个简单的例子来说明解线性方程组的方法： 求非其次线性方程组 ?x1?x2?2x3?x4?1?2x?x?x?2x?3?1234 ?x?x?x?2?134??3x1?x2?3x4?5的通解，并且由对应的齐次线性方程组的基础解系表示。 解：对增广矩阵做初等行变换 ?1?12?2?11??A??10?1??3?10?11??1?12??23??01?3?12??01?3???35???02?611??1??01??0?01??0???02???00?112??1?301? 0000??0000??R(A)?R(?A)?2,将x3,x4取作自由未知量。由原方程组的同解方程组?x1?2?x3?x4?x?1?3x?23 ??x3?x3??x4?x3因而 得通解为?2??1???1???????130 x=???k1???k2??,其中k1,k2为任意常数.?0??1??0???????00?????1?以上例子是有一个很简单而又不失普遍性的线性方程组求解过程，即：先判断方程组是否有 解，在根据定理一判断对应齐次线性方程组的解空间维数，然后求出齐次线性方程组通解，根据定理二加上一组特解即可求出对应非其次线性方程组的通解。 七．判断向量组的线性相关性 线性相关的定义如下： 设a1,a2,?,am为n维向量，若存在一组不全为零的k1,k2,?,km,使 k1a1?k2a2???kmam?0 则称向量组a1,a2,?,am线性相关；否则a1,a2,?,am线性无关。 线性表示的定义如下： 设有两个向量组 T1：a1,a2,?,am; T2：b1,b2,?,bm; 若向量组T1的每一个向量都可由向量组T2线性表示，则称向量组T1可由向量组T2线性表示。又若向量组T1与向量组T2可以相互线性表示，则称向量组T1与向量组T2等价。 向量组的线性相关有如下的性质： 1） 如果一个向量组的某个部分组线性相关，那么该向量组必线性相关。 2） 当m>n时，m个n维向量组成的向量组a1,a2,?,am一定线性相关。 3） 设有两个向量组： T1:?j?(a1j,a2j,?,arj)T(j?1,2,?,m)T2:?j?(a1j,a2j,?,arj,ar?1,j,?,anj)(j?1,2,?,m)T 若向量组T1线性无关，则向量组T2也线性无关；反之，若向量组T2线性相关，则向量组T1也线性相关。 判断向量组线性相关性判断方法的定理有下面几个： 1） 向量组a1,a2,?,am线性相关的充要条件是它构成的矩阵A=（a1,a2,?,am)的秩小于向 量的个数m；向量组线性无关的充要条件是R（A）=m。 结合矩阵，上定理有如下两个推论： （1） m个m维向量组a1,a2,?,am线性相关的充要条件是它构成的矩阵A= （a1,a2,?,am）的行列式|A|=0；a1,a2,?,am线性无关的充要条件是|A|≠0； （2） 设A为m*n矩阵，则 1. 矩阵A的列向量线性相关（无关）的充要条件是R（A） m-1个向量表示。 3） 向量组a1,a2,?,am线性无关，而向量组a1,a2,?,am,b线性相关，则b可由 a1,a2,?,am线性表示，而且表示式是唯一的。 4） 若向量组T1：a1,a2,?,am可由向量组T2：b1,b2,?,bm线性表示，且m>n,则向量组线 性相关。 该定理有如下两个推论： a1,a2,?,am可由向量组T2：b1,b2,?,bm线性表示，（1） 若向量组T1：且向量组T1： a1,a2,?,am线性无关，则m<=n. （2） 若两个线性无关组等价，则它们所含的向量个数相等。 5） 矩阵A经过初等行变换化为B，则 （1） 矩阵A与B对应的列向量构成的列向量具有相同的线性组合关系； （2） 矩阵A的行向量组与矩阵B的行向量组等价。 线性相关作为向量间的关系与向量组的内在性质在向量领域应用广泛，是作为基础存在的。其应用与矩阵类似，可用来求解线性方程组等。 八．求向量组的秩与极大无关组 向量组的T的一个部分组a1,a2,?,ar满足： （1） a1,a2,?,ar线性无关； （2） 向量组T的每一个向量都可由a1,a2,?,ar线性表示。 则称a1,a2,?,ar是向量组T的一个极大线性无关组，简称极大无关组。 关于向量组秩的定义： 向量组a1,a2,?,am的极大线性无关组所含的向量个数称为该向量组的秩，记作 R（a1,a2,?,am） 规定只含零向量的向量组的秩为0。 极大线性无关组具有的性质为： 极大性：向量组的极大线性无关组是所有与该向量等价的部分组中韩向量最多的向量组。 极小性：向量组的极大无关组是所有与该向量组等价的部分组中含向量最少的向量组。 关于秩的性质有如下几条： （1） 矩阵的秩等于他的列向量组的秩，也等于他的行向量组的秩。 （2） 若向量组T1可由向量组T2表示，则向量组T1的秩不超过向量组T2的秩。 该性质有如下推论： 等价向量组的秩相等。 求向量组的秩方法根据性质（1）可知，即把向量组看作以及矩阵求矩阵的秩，然后就可以得到向量组的秩。还可以根据性质等价向量组的秩相等，将向量组做等价变换求秩，这个方法实质上和利用矩阵求的方法一样，因此，求向量组的秩的方法归根结底就是将像向量组看作熟悉的矩阵求解。 向量组的秩的应用与矩阵的秩在矩阵中间的运用大致相同，是向量组的特征量，可以解决很多向量组的问题。 九．求矩阵的对角矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值） 对角矩阵的定义： 如果n阶方阵的主对角线以外的元全为零，即 ?a1?0????? ??an??0