Gauss-Seidel
迭代法求解线性方程组
一. Gauss-Seidel迭代法的基本理论
1.1线性方程组的迭代法求解
在考虑求解线性方程组Ax=b时，其中A为非奇异矩阵.尽管Guass消元法通过有限
3
O(n).但是对于工程技术中和某些偏微次运算可以求解此问题，其对应的计算复杂度为
分方程过程中出现的大型稀疏型矩阵利用迭代法可以更快的收敛，找到解.另外一方面，由于迭代法占用的计算机内存少，且便于计算.这两方面的优势促成了迭代法求解线性方程组的研究.
关于迭代法的收敛的几个判定条件 1（迭代法基本原理）
0
设有方程组x Bx f，对于任意初始向量x及任意f，解此方程组的迭代法（即
x k 1 Bx k f）收敛的充要条件是 B 1. 2（迭代法收敛的充分条件）
k 1 k
x Bx fx Bx f（x 0 为任意初始向量）如果方程组的迭代公式为，且迭代矩
阵的某一种范数
Bv q 1
，则：1 迭代法收敛；2
x x k
v
q
x k x k 1
v1 q；
3
x x
k
v
qk
x 1 x 0
v1 q.
定理3 如果A R
n m
为严格对角占优阵或为不可约弱对角占优阵，则对于任意的x，解方程
0
组Ax b的Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法均收敛. 定理4
如果A为对称正定矩阵，且0 2，则解式Ax b的SOR方法收敛.