数学竞赛
10
n
中等数学
=-m
k=3n
∑
(1-m)k-1.
色的花.每部分栽种1种且相邻部分不能栽种同样颜色的花.则不同的栽种方法有
种.
(2003,高考题(新课程卷))
解:据命题2知,不同的栽种方案种数为
55
a5=4[(-1)(4-2)+(4-2)]=120.命题3 用m(m≥2)种不同的颜色,给图1中n(n≥4)个彼此相连的区域
A1,A2,…,An染色,且任何间隔1个区域的2个区域染不同的颜色.则不同的染色方案种数为
an=
2
[(m-1)2+(-1)2(m-1,
故(-1)an-a2
2n
=-(1-m)+(1-m).因为a2=m(m-1),所以,
(-1)nan
n2
=(1-m)+m(m-1)-(1-m)
n
=(1-m)+(m-1).
nn
因此,an=(-1)(m-1)+(m-1).
例1 如图2,在1个正六边形的6个区域栽种观赏植物,要求同1区域中
种同一种植物,相邻的2区
图2
域种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择..
(:n=6,m=4,即得
66
a6=(-1)(4-1)+(4-1)=732.
故共有732种栽种方案.命题2 用m(m≥2)种不同的颜色,给图3中n+1(n≥2)个彼此相连的车轮型区域A0,A1,…,An染色,且任何相邻
图3的2个区域染不同的颜色.则不同的染色方案种数为
nn
an=m[(-1)(m-2)+(m-2)].
2|n;28n.
(m1)n+)n():n(n413,A5,n2个区域染不同的颜色,共
2
个区域,区域A2,A4,A6,…,An,A2
类似.据命题1知不同的染色方案种数为
an=[(m-1)
2
2
+(-1)2(m-1)].
当28n(n≥5)时,则A1,A3,A5,…,An,
A2,A4,A6,…,An-1,A1依次相邻2个区域染
不同的颜色,且不同的染色方案种数为
nn
an=(m-1)+(-1)(m-1).命题4 用m(m≥2)种不同的颜色,给图3中n+1(n≥4)个彼此相连的区域A0,
A1,A2,…,An染色,且除A0外任何间隔1个
证明:如图3,记符合要求的染色方案为
an种,则区域A0有m种染法,其余n个区
区域的2个区域染不同的颜色.则不同的染色方案种数为
an=
m[(m-1)m[(m-1)
2n域都与A0不同色,只有m-1种颜色可供选
nn
择,据命题1知,有(-1)(m-2)+(m-2)种染法.所以,
nn
an=m[(-1)(m-2)+(m-2)].
2
+(-1)2(m-1)],2|n;n
+(-1)(m-1)],28n.
证明:因区域A0有m种染法,其他区域与A0均相邻,由命题3知命题4结论成立.我们还可类似地讨论间隔2个区域以上的染色方案问题.
命题5 用m(m≥2)种不同的颜色,给图1中n(n≥4)个彼此相连的区域A1,A2,
例2 某城市
在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分(如图4).现要栽种4种不同颜
图4
…,An染色,且任何间隔3个区域的2个区