数学竞赛
2005年第1期11
域染不同的颜色.则不同的染色方案数为
4
44()()[m-1+-1(m-1)], n≡0(mod4),
nn
an=(m-1)+(-1)(m-1), n≡1(mod4)或n≡3(mod4),
A1A5A9…An-2,A2A6…An-1,A3A7…An,A4A8…An-3.
2
[(m-1)2+(-1)2(m-1)], n=2(mod4).
证明:若n≡0(mod4),则将n个区域分为下列4组:
A1A2A3A4
A5A6A7A8A9A10A11A12
A13A14A15A16
依次相邻的2个区域染不同颜色,共有
nn
不同的染法(m-1)+(-1)(m-1)种.
若n≡2(mod4),则将n个区域重新排列为
A1A5…An-1,A3A7…An-3,A2A6…An,A4A8…An-2.
…An-3…An-2…An-1…
An
每组有
2
个元素.依次相邻的2个区域
染不同颜色,共有不同的染法
2
[(m-1)2+(-1)2(m-1).
每组
4
个元素.依次相邻的2个区域染
不同颜色,每组有(m-1)4+(-1)4(m-1)种不同的染法,共有不同的染法
[(-1)44m-].
.
(m≥2)种不同的颜色,给图3中n+1(n≥4)个彼此相连的区域A0,
A1,A2,…,An染色,且除A0外任何间隔3个
若n1od4),n列为
A1A5A9…An,A4A8…An-1,A3A7…An-2,A2A6…An-3.
依次相邻的2个区域染不同颜色,共有
nn
不同的染法(m-1)+(-1)(m-1)种.
若n≡3(mod4),则将n个区域重新排列为
区域的2个区域染不同的颜色,则不同的染
色方案数为
4
m[(m-1)4+(-1)4(m-1)], n≡0(mod4),
nn
an=m[(m-1)+(-1)(m-1)], n≡1(mod4)或n≡3(mod4),
m[(m-1)2+(-1)2(m-1)], n≡2(mod4).
2
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