数学E单元不等式
E1 不等式的概念与性质
10．H6、E1 设双曲线x2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，右顶点为A，过F
作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a＋a2＋b2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )
A．(－1，0)∪(0，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－2，0)∪(0，2)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
10．A 由题意得A(a，0)，不妨取Bc，b2
a
，Cc，－
b2
a
，由双曲线的对称性
知D在x轴上，设D(x
0，0)，由BD⊥AC得
b2
a
－0
c－x
·
b2
a
a－c
＝－1，解得c－x
＝
b4
a2（c－a）
，
由题可知c－x
0＝
b4
a2（c－a）
<a＋a2＋b2＝a＋c，所以
b4
a2
<c2－a2＝b2?
b2
a2
<1?0<
b
a
<1.因为双曲线渐近线的斜率为±b
a
，所以渐近线斜率的取值范围是(－1，0)∪(0，
1)．
22．D3、E1、E7 在数列{a
n }中，a
1
＝3，a
n＋1
a
n
＋λa
n＋1
＋μa2
n
＝0(n∈N
＋
)．
(1)若λ＝0，μ＝－2，求数列{a
n
}的通项公式；
(2)若λ＝1
k
(k
∈N
＋
，k
≥2)，μ＝－1，证明：2＋
1
3k
＋1
<ak0＋1<2＋
1
2k
＋1
.
22．解：(1)由λ＝0，μ＝－2，有a
n＋1a
n
＝2a2
n
(n∈N
＋
)．
若存在某个n
0∈N
＋
，使得an0＝0，则由上述递推公式易得an0－1＝0.重复
上述过程可得a
1＝0，与a
1
＝3矛盾，所以对任意n∈N
＋
，a
n
≠0.